нем воды в океанах, то ясно, что под фигурой Земли в данном случае следует понимать поверхность геоида. Это название было введено во второй половине XIX в. геттингенским физиком Листингом.

Поэтому до последнего времени задача определения фигуры Земли формулировалась как изучение фигуры геоида.

Дальнейшее развитие теории фигуры Земли на основе измерения силы тяжести нашло отражение в работах Лапласа, Стокса, Слудского, Брунса,

Гельмерта, Пицетти, Венинг-Мейнеса и др.

Большим шагом вперед в развитии названной теории явились исследования английского ученого Стокса, который в 1849 г. решил задачу определения формы внешней уровенной поверхности но результатам измерения силы тяжести без каких-либо гипотез о внутреннем строении Земли.

Слабым местом в формуле Стокса, ее ахиллесовой пятой , является то, что при ее выводе предполагается отсутствие внешних масс относительно геоида и что измерения силы тяжести производятся на поверхности геоида; кроме того, формула Стокса требует знания ускорений силы тяжести для всей поверхности Земли. Последнее затруднение в применении формулы Стокса непринципиально; оно выполняется при надлежаш,ей постановке гравиметрических измерений на поверхности всей Земли. Значительно труднее теоретически и практически обеспечить выполнение первых двух условий. Попытки так называемой регуляризации Земли, т. е. устранения влияния внешних масс и приведения наблюдений к уровню геоида, не увенчались успехом; задача не получила точного решения.

Параллельно с развитием теории фигуры Земли на основе использования результатов измерения силы тяжести развивались градусные измерения в виде обширных астрономо-геодезических сетей. Точность угловых, линейных и астрономических определений систематически росла, увеличивалась и территория, покрываемая градусными измерениями. Тем более становились недопустимыми возникающие разногласия в измерениях, вызванные, как мы уже видели, отступлением уровенных поверхностей Земли от эллипсоида, т. е. влиянием неравномерного распределения масс земной коры; возрастающая точность измерений при применении геометрического метода вывода размеров и формы Земли обесценивалась в процессе обработки результатов излте-рений.

Это обстоятельство не только влияло на вывод параметров земного эллипсоида, но и снижало точность определения координат геодезических пунктов как опорных для топографических съемок и для других целей.

Поясним существо возникающих разногласий, для чего обратимся к уравнениям (50.4). Уже в XVIII в. точность вывода длин дуг s характеризовалась ошибкой не более 1 : 100 ООО, а определение астрономических широт - ошибками порядка 0,5 дуги. Если, например, рассматривать дугу длиной 1000 км, то ошибка в ее длине s, полученной из непосредственных измерений, составит 10 м; ошибка этой же дуги, определенная по разности широт, должна была бы быть 0,5 12 = 0,7 , или, в линейной мере, около 20 м. При подобном соотно-

шении можно было бы говорить о соответствии точности линейных и астрономических измерений и ошибки последних рассматривать как случайные величины. В действительности же ошибка в расстоянии s, выведенная по астрономи-

ческим широтам как ---, получается из вычислении в 5-10 раз

больше.

Поясним эти соображения геометрически. Пусть на рис. 99 изображено сечение Земли вдоль некоторого меридиана; в верхнем слое Земли расположено некоторое тело Г, имеющее большую плотность, чем окружающее его вещество. Сечение, показанное сплошной линией, будет сечением эллипсоида, а прямые йПа и Ьщ - нормалями к поверхности эллипсоида в точках а я Ь.

Под действием избыточного притяжения тела Т отвесные линии окажутся смещенными в направлении к телу Т; проекции отвесной линии в плоскости меридиана изображены пунктирными прямыми апа и Ьпь. Пусть аЬ - одна из дуг меридиана, взятая для составления уравнения градусного измерения. Углы 1 и 2 между нормалями к эллипсоиду и проекциями отвесных линий на меридианную плоскость называются составляющими уклонения отвесной линии в меридиане.

Обозначая через ф астрономические широты, а через В геодезические (рис. 99), имеем

Следовательно, используя в уравнениях (50.4) астрономические широты, мы влияние уклонений отвесных линий, выраженное в нашем случае членом (ii+E2) полагаем как бы вызванным случайными ошибками определения астрономических широт, что, конечно, совершенно неправильно. Как указывалось, ошибки в определении широт характеризуются величиной порядка ±0,5 ; среднее же значение величин составляет около 3-4 .

Естественно, на первый взгляд, было положить, что указанные несоответствия вызываются рельефом местности - избытком масс в горных районах и недостатком в океанических впадинах. Это предположение основывается на гипотезе одинаковой плотности вещества в земной коре, при которой уклонения отвесной линии зависели бы только от рельефа, т. е. от объемов воздействующих масс. Однако это не подтвердилось. Вычисленные на основе этого предположения поправки в астрономические координаты оказались в некоторых случаях во много раз больше расхождений до введения поправок. Тогда в начале XIX в. была выдвинута гипотеза изостатической компенсации, или просто изостазии, согласно которой уже принимался иной закон распределения масс в земной коре. Не останавливаясь на описании гипотезы изостазии, что будет сделано в § 70, отметим, что уже в XIX в. геометрический метод определения фигуры Земли в первоначальном виде постепенно перестает применяться; при обработке градусных измерений начинают принимать во внимание факторы, связанные с физикой Земли, путем вьгчисления и введения так называемых изостатических поправок в астрономические координаты. Использование гипотезы изостатической компенсации во многих случаях устранило или существенно уменьшило аномальные влияния неравномерного распределения масс в земной коре, но не всегда применение теории изостазии давало удовлетворительные результаты.

Изостатическая компенсация остается предположением, справедливым в той или иной степени. Использование этой теории при обработке астрономо-геодезических сетей показало, что она в какой-то мере и при известных условиях справедлива; но несомненно и то, что ее применение во всех случаях давало возможность учитывать влияние неравномерностей в строении земной коры всегда приближенно, причем степень достоверности и точности вывода изостатических редукций оставалась неизвестной.

При таких условиях математическая обработка результатов астрономо-геодезических измерений не могла осуществляться с необходимой строгостью и точностью.

В связи с этим следует отметить, что даже в первой четверти XX в. высшая геодезия еще не располагала строгой математической теорией обработки всех видов геодезических сетей высокой точности (астрономо-геодезических, нивелирных и гравиметрических) и решения главных научных и научно-технических задач.

Такая строгая теория была создана советской научной школой. Переходя к краткому описанию научных и научно-технических работ в области высшей геодезии начиная со второй четверти XX в., следует, во-первых, отметить получение в 1928 г. голландским ученым Венинг-Мейнесом формул для вычисления уклонений отвесных линий как функции аномалий силы тяжести. Эти формулы были получены принципиально просто путем нахождения соответствующих производных от формулы Стокса для расстояния от геоида до эллипсоида.

Этим самым был сделан серьезный шаг в области теории изучения фигуры Земли. Но вопросы практического использования этих формул автором не были решены. Для вычисления уклонений отвесной линии по формулам Венинг-Мейнеса необходимо знать аномалии силы тяжести для всей поверхности Земли. Следует заметить, что выполнение работ по измерению силы тяжести на Земле существенно отставало от успехов теории. В СССР, в соответствии с постановлением Совета Труда и Обороны, с 1932 г. началась планомерная общая гравиметрическая съемка на территории страны. Гравиметрические работы на море в начале второй четверти XX в., по существу, имели опытный характер.

Кроме того, поскольку формулы Венинг-Мейнеса получены из формул Стокса, то условие, поставленное при выводе формулы Стокса, что сила тяжести должна быть измерена на поверхности геоида и что вне поверхности геоида нет внешних притягивающих масс, остается и для формул Венинг-Мейнеса. Поскольку для реальной земной поверхности это не соблюдается, то нримене-ние формул Венинг-Мейнеса, так же как и формулы Стокса для определения фигуры геоида, продолжало оставаться недостаточно строгим.

В связи с большим развитием геодезических работ на такой огромной территории, какой обладает СССР, перед советскими учеными-геодезистами встала задача разработки теории и методов точной математической обработки результатов геодезических измерений. Эллипсоид Бесселя, оказавшийся не подходящим для территории СССР, заменен в 1944 г. эллипсоидом Красовского, вывод числовых параметров которого осуществлен на основании наиболее обширных материалов геодезических измерений. Обстоятельно получены координаты исходного геодезического пункта в Пулково, что определило положение эллипсоида в теле Земли.

Для обеспечения строгости обработки триангуляции проф. Красовский предложил все результаты измерений на местности точно проектировать на поверхность референц-эллипсоида. В связи с этим возникла необходимость точ-