центре. Иначе говоря, если Ньютон полагал, что притяжение Земли склады вается из действия всех частиц, то Гюйгенс положил, что сила притяжения во всех точках поверхности Земли постоянна и направлена к центру планеты, к точке, имеющей массу всей Земли. При этом условии Гюйгенс получил выра-

жение для сжатия а = 2-д, т. е.а = .

В обоих выводах сжатия Земли в качестве исходных условий взяты крайние гипотезы о ее внутреннем строении. В действительности, плотность Земли в целом возрастает от поверхности к ее центру. Следовательно, и действительное значение сжатия должно лежать где-то между полученными Ньютоном и Гюйгенсом значениями.

После окончательного установления факта эллипсоидальной формы Земли во многих странах получили большое развитие работы по градусным измерениям и выводам размеров земного эллипсоида. Так, например, в XIX в. было сделано более 20 выводов размеров земного эллипсоида. Этому способствовали, с одной стороны, большой интерес, проявлявшийся учеными всех стран к проблеме фигуры Земли, новые возможности измерения больших дуг, открывшиеся в результате применения метода триангуляции, совершенствование методов геодезической астрономии и, с другой стороны, возраставшие требования к развитию геодезических работ в целях картографирования территорий, одновременно доставлявших данные для определения размеров и формы Земли.

Определения размеров и формы Земли из градусных измерений и после открытия сфероидичности Земли долгое время основывались на чисто геометрическом решении задачи.

Как уже отмечалось, если для определения радиуса Земли, принимаемой аа шар, необходимо измерить одну дугу и определить астрономические координаты ее концов, то для вывода фигуры Земли, принимаемой за эллипсоид, нужно измерить две дуги по числу параметров.

Если обозначить длины таких дуг через и Sg, то, считая их проложен-выми по меридиану, на основании (7.1) и (7.11) можно написаты

5, = j М = а (ii: {1 - [1-f I cos (ф,-I-= йф = а (2i:=?2L {l - [I +1 cos (ф,+ ф,)] .2 ... J

(50.4)

где ф, фз и фз, ф4 - измеренные астрономические широты концов обеих дуг меридиана.

Решая совместно уравнения (50.4), находим искомые о и d, определяющие фигуру эллипсоида.

С XIX в. уравнения (50.4) при наличии больше двух дуг решались по способу наименьших квадратов.

При этом считалось, что точность вывода а а. е зависит от точности измерения длин дуг S и широт ф, характеризующихся их опшбками, как случайными величинами. Иначе говоря, забегая несколько вперед, влияние уклонений отвесных линий на астрономические широты как бы принималось за случайные чцшибки. Но сравнение результатов различных выводов размеров эллипсоида,

полученных из градусных измерений в разных районах и странах, показало, что получающиеся расхождения превосходят величины, которые могли бы быть объяснены ошибками собственно измерений. Анализ полученных выводов привел к заключению, что если бы фигура Земли представляла собой точно эллипсоид вращения, то таких расхождений не должно было бы быть. Отсюда логически вытекало заключение, что если эллипсоид вращения и есть весьма существенное приближение к фигуре Земли по сравнению с шаром, то он все же не представляет собой точно ее фигуру. Дальнейшее изучение результатов градусных измерений привело к заключению, что каждое из них определяет параметры эллипсоида в пределах точности измерений наилучшим образом подходящего к фигуре Земли для той части земной поверхности, на которой выполнены градусные измерения.

Поскольку параметры таких эллипсоидов различались на величины, не объясняемые ошибками измерений, то, естественно, следовал вывод, что фигура Земли может быть представлена эллипсоидом лишь с некоторой степенью приближения и как геометрически более сложная, она не выражается ни одной из поверхностей, рассматриваемых в математике. Таким образом, стало ясно, что определение фигуры Земли - более трудная задача, чем это представлялось ранее, и началась эпоха следующего приближения в изучении Земли как планеты.

Выше показано, что, используя закон всемирного тяготения и другие законы механики, можно при известном условии определить фигуру Земли.

Из рассмотрения работ Ньютона и Гюйгенса вытекало, что для этого нужно знать распределение плотностей в теле Земли. Эти данные, конечно, могут получаться только эмпирически, т. е. из соответствующих видов измерений; они не были известны во времена Ньютона, неизвестны с достаточной подробностью и до сих пор. Но масса Земли и ее строение, зависящие от внутреннего распределения плотностей, определяют однозначно земное притяжение; это взаимосвязанные величины. Отсюда следует, что, зная силу тяжести во всех точках поверхности Земли (ее величину и нанравление), можно определить ее фигуру.

Иначе говоря, вместо опытных данных, характеризующих распределение и величину плотности масс Земли, можно воспользоваться другими опытными данными - значениями силы тяжести и ее распределением на поверхности Земли. И если мы и до сих пор пока не имеем средств для непосредственного измерения плотности Земли в каждой ее точке, то для измерения силы тяжести на поверхности Земли такие методы существуют и некоторые из них известны еще со времен Галилея. Однако надо иметь в виду, что если известно распределение массы данного тела, то поле тяготения на его поверхности определяется однозначно; наоборот, данному полю тяготения могут соответствовать различные распределения масс. Поэтому гравитационному полю Земли могут соответствовать различные распределения плотностей в ее теле; иначе говоря, значение силы тяжести на земной поверхности однозначно не определяет внутреннего строения Земли.

Основа теории определения формы Земли по результатам измерения силы тяжести была заложена французским математиком Клеро - участником лапландской экспедиции Французской академии наук, который доказал замечательную теорему, устанавливающую изменение силы тяжести на поверхности сфероида в зависимости от широты места и сжатия Земли.

Эта теорема выражается двумя уравнениями, которые мы приводим, удер-

живая малые величины порядка сжатия

g<p = go + (90 - go) sin2 ф (50.5)

I = l.q-a, (50.6)

где ф, 0 90 - ускорения силы тяжести под широтой ф, на экваторе и полюсе соответственно:

q =--отношение центробежной силы к ускорению силы тяжести

на экваторе; 0) - угловая скорость вращения Земли; а - сжатие эллипсоида.

Из предыдущих соображений следует, что для получения (50.5) и (50.6) Клеро должен был задаться некоторым предположением о распределении масс внутри Земли. Он принял следующее: тело состоит из слоев различной плотности, но разграниченных эллипсоидальными поверхностями с малым сжатием; все эти сфероиды имеют общий центр и единую ось вращения; изменение плотностей при переходе от слоя к слою - произвольное; внешняя сфероидическая поверхность тела является поверхностью равновесия, т. е. уровенной поверхностью; вне внешней сфероидической поверхности не имеется никаких притягивающих масс *.

Позднейшие исследования показали, что несоответствие гипотезы, принятой Кдеро о строении Земли, действительному строению относится к наружному слою Земли, к так называемой земной коре, толщина которой, как увидим далее, по современным данным колеблется от 6 до 70 км. Известные сейчас изменения плотностей в слое земной коры вполне объясняют расхождения в значениях силы тяжести, получаемых фактически из измерений и вычисляемых по формуле Клеро (50.5).

Как видно из поставленных условий и из вывода теоремы Клеро, написанные уравнения (50.5) и (50.6) относятся к телу, имеющему форму эллипсоида вращения. Поэтому несовпадение значений ускорений силы тяжести, вычисленных по формуле (50.5) и наблюденных, подтверждает отступление фигуры -Земли от формы эллипсоида.

Таким образом, по двум независимым путям определения формы Земли - геометрическому, основанному на использовании результатов измерения геометрических элементов поверхности Земли (длин линий, углов и направлений), и физическому, основанному на измерении ускорения силы тяжести на земной поверхности, получено единое заключение, что фигура Земли по форме весьма близка к эллипсоиду вращения, но не совпадает с ним. При-Цвяяя описанные методы определения фигуры Земли, следует сделать вывод, Что она незначительно, но не непренебрегаемо мало отступает от эллипсоида вращения и имеет, с математической точки зрения, весьма сложную поверхность.

Поскольку и в первом случае и во втором все наблюдения криводились к уровенной поверхности силы тяжести, совпадающей с невозмущенным уров-

* Как показал позднее английский ученый Стоке, эти условия необязательны Достаточно поставить условие, что Земля представляет собой уровенную поверхность.