откуда

На основании (4.15) имеем

а V ] - е- cos Ф

У1-е2со82ф

а Vi - e sin Ф

У1 - е- cos2 ф

у 1 -е2 cos2 ф

(4.16)

(4.17)

Выражение для радиуса-вектора в функции геодезической широты определяется из (4.7), (4.8), (4.15), т. е.

a2(l e2)2sin2i?

1 -е2 sin2 В

Решая это уравнение относительно р и удерживая члены с е*, после преобразований получаем в окончательном виде

2 - , ei . . г. 5

= а (l-sin2 5+- sin2--e4sin*5-...) .

(4.18)

4. Связь между приведенной широтой и ж геодезической широтой В. На рис. 10 изображены меридианный эллипс

РЕРЕ ж полуокружность EQE, необходимая для построения угла, являющегося приведенной широтой и.

Предварительно установим связь между ординатами точек эллипса и окружности, имеющими одну и ту же абсциссу. Например, для точки М установим связь между отрезками и MgMi.

Из треугольника ОММ следует, что

{OM. + {MMf = a\

(4.19)

Поскольку точка М принадлежит меридианному эллипсу, ее координаты должны удовлетворять уравнению эллипса (4.1), т. е.

02 Г Ь2 ~

Сопоставление выражений (4.19) и (4.20) дает

ММ, = у = М,мЛ.

(4.20)

(4.21)

Для получения связи между приведенной широтой и и геодезической В имеем из рис. 10

x - acosu (4.22)

и на основании (4.21)

поэтому

М1М2 = а sin и, у = asinu = Ь sinu. (4.23)

Заметим, что выражения (4.22) и (4.23) являются уравнениями эллипса в параметрической форме.

Из (4.22) и (4.23) легко получаем выражение для приведенной широты и через прямоугольные координаты х ж у.

= Atga = /r=Tngf., (4.24)

1 у

и- = -7=.

Но на основании (4.5)

tgu = -jJ=. (4.25)

- = (l-Otg5, (4.26)

следовательно, из (4.24) и (4.26) имеем

откуда окончательно получаем искомую зависимость

tgM=]/l-eng5. (4.27)

Получим еш;е дополнительные зависимости, которые будут необходимы в дальнейшем.

Из (4.23), принимая во внимание (2.7) и (4.8), получаем

sm ц = -. (4.28)

Из (4.27) пишем

/1-е2 sin2i?

(1-.2) 1 I , tg2

откуда

C0S2 5 (1-е2)

П )/ 1 -1?2 COS и I , г,пч

РОЯ Я= - (4.29)

к 1 --е2 cos2 и

На основании (4.9) и (4.22) можем также написать для радиуса параллели

г = а cos и.

Выведем приближенную формулу разности [В- м), удобную для подсчетов

igB-Xgu = lgB-Yi-etg 5, sin(/?-u)

cos 5 COS Ы

Раскладывая (1 - е) V в ряд и заменяя cos и на cos В (допуская тем самым ошибку на малую величину порядка е*), получаем окончательное выражение для {В - и)

{В-и) = 1 р е sin 2В. (4.30)

Более точная формула для {В - и) имеет вид {В-и) = р

nsm2B--i-smAB + smQB-sm8B

а - Ь

, (4.31)

tgi? -tgu

a-\-b tg /У -f tg u *

5. Связь между системой прямоугольных пространственных координат X, Y, Z и другими систе- м а м и. На рис. И Р/рд мери-

дианный эллипс, в плоскости которого находится точка G начала счета долгот и, следовательно, в этой плоскости располагается координатная ось ОХ, РЕуРЕ - меридианный эллипс, на котором расположена данная точка М и координатные оси Ох и Оу. Угол между плоскостями этих меридианных эллипсов равен геодезической долготе L. На рис. 11 имеем:

Рис. И

X = X cos L Y = xsin L

z = y

(4.32)

Далее, на основании (4.32), (4.22) и (4.23) получим:

X - <2C0S и COS L

Y = асов и sin L

Z = bsinи== а]/1 - е- sinu На основании (4.32), (4.7) и (4.8) напишем

(4.33)

Х = Y = Z =

а cos В

Vi~e2 sin2 В а cos В

V f - ё2 sin2 Б

а (1 - 2) sin В /1-е2 sin2 Д

cos L sin L

(4.34)

Если заменить в (4.34)

е2 =

а2 - Ь а2