Формула (47.2) дает главный член поправки за переход с эллипсоида на плоскость в стереографической проекции, если для х ж у взять их значения для средней точки линии, т. е.

xi + tcg У1 + У2

тогда главный член формулы для указанной поправки будет

d-s = d ,t (47.?.)

Из сравнения (47.3) с формулой (42.7) можно сделать вывод, что размер искажений в стереографической проекции будет при одинаковом удалении от осевого меридиана несколько меньше, чем в проекции Гаусса - Крюгера.

Поправка за кривизну изображения геодезической линии на плоскости выражается формулой

Si.2-6;.i = 2i=p . (47.4)

Величина поправок б в стереографической проекции будет примерно в два раза меньше, чем в проекции Гаусса - Крюгера. Из формулы масштаба изображения

следует, что масштаб изображения возрастает от центральной точки по всем направлениям. Поэтому применение стереографической проекции на большой территории вызывает необходимость введения зон, ограниченных как меридианами, так и параллелями. Вследствие наличия частных начал координат, расположенных под разными широтами, вычисления не будут единообразными в разных зонах. Следовательно, если говорить о применении проекции на значительной территории, то за проекцией Гаусса - Крюгера сохраняется безусловное преимущество. Масштаб изображения в проекции Гаусса - Крюгера зависит только от ординаты, следовательно, каждая зона в этой проекции охватывает полосу поверхности эллипсоида от северного полюса до южного. Огромное достоинство этой проекции - полное однообразие и стандартизация вычислений независимо от зоны.

Тем не менее стереографическая проекция имеет некоторые преимущества, которые в частных случаях могут быть использованы. К этим преимуществам можно отнести:

1. Искажения возрастают равномерно от центральной зоны проекции, тогда как в проекции Гаусса - Крюгера такой равномерности нет.

2. При одинаковом удалении от осевого меридиана искажения в длинах линий в стереографической проекции в два раза меньше, чем в проекции Гаусса - Крюгера.

Можно высказать предположение, что в частных случаях стереографическая проекция может найти практическое применение в геодезических работах. Очевидно, это может быть в тех случаях, когда размер искажений в проекции Гаусса - Крюгера в принятой системе зон недопустим и возникает необходимость перехода к частной системе координат; это может случиться при использовании координат для достаточно точных числовых расчетов при проектиро-

вании и строительстве комплекса инженерных сооружений, при известном удалении их от осевого меридиана. Как уже указывалось, стереографическая проекция наиболее удобна для изображения территорий, имеющих круглое очертание.

§ 48. Общее заключение по применению координат Гаусса - Крюгера в геодезических работах СССР

Система координат Гаусса - Крюгера отвечает требованиям, указанным в § 35; переход с эллипсоида на плоскость осуществляется с точностью, удовлетворяющей самым строгим практическим требованиям. Полученные формулы хотя и не очень просты, все же не представляют существенных затруднений при вычислении, если имеются вспомогательные таблицы. Проекция конформна, поэтому редукции направлений за кривизну изображения геодезической линии на плоскости малы и их легко вычислить; линейные искажения учитывать просто.

Основное достоинство проекции Гаусса - Крюгера для построения системы плоских прямоугольных координат на значительных и больших территориях - деление на зоны, простирающиеся полосами от северного полюса до южного. Такое деление на зоны равного протяжения по долготе и однородного по широте обеспечивает единообразие методов и средств вычислений во всех зонах. Разные зоны отличаются от нулевого меридиана только номерами, не участвующими в вычислениях и определяющими географическое положение той или иной зоны на поверхности земного эллипсоида.

Таким образом, проекция Гаусса - Крюгера имеет универсальный характер и наряду с геодезической системой координат может применяться для всех стран и континентов.

Достоинство проекции Гаусса - Крюгера заключается в том, что в работах малой точности, например при развитии съемочного обоснования - про-ложении теодолитных ходов, развитии аналитических сетей, можно не учитывать редукций направлений. Действительно, в неблагоприятном случае (на краю шестиградусной зоны при - 250 км, iCg - = 1 км) значение редукции будет меньше 1 , т. е. пренебрегаемо мало по сравнению с ошибками измерения углов.

При проложении теодолитных ходов между пунктами триангуляции, координаты которых даны в системе Гаусса - Крюгера, в измеренные длины сторон ходов необходимо вводить поправки за переход на плоскость. На краю шестиградусной зоны при у = 250 км эти поправки достигают величины порядка ~г7Г, поэтому не могут считаться препебрегаемыми. Таким образом,

в геодезических работах малой точности надо учитывать только линейные искажения.

Конечно, при всяком законе изображения эллипсоида на плоскости для большой территории неизбежно разделение территории на зоны. В связи с Этим возникают неудобства главным образом на стыке двух смежных зон, когда смежные геодезические пункты оказываются отнесенными к различным системам координат. Однако для большинства случаев эти неудобства устраняются взаимным перекрытием зон при вычислении координат пунктов. Эти перекрытия в настоящее время в СССР установлены на i° по долготе; западная

Интервалы зон по долготе в б чении этого интервала возникла

Осевой

Рис. 97

и восточная зоны перекрываются по 30 по долготе. Схематически это перекрытие показано на рис. 97.

следует считать максимальными; при увели-бы необходимость учета дополнительных сложных членов в формулах перехода от геодезических к прямоугольным координатам и в формулах редукций длин и направлений. При использовании топографо-геодезических материалов, отнесенных к системе прямоугольных плоских координат, важно, чтобы в пределах известной зоны, порядка (у-5) км и (г/+ 5) км, масштаб т можно было считать постоянным. На краю шестиградусной зоны, т. е. при I = 3°, изменение масштаба на линии, перпендикулярной оси абсцисс, длиной 10 км будет около 1 : 17 ООО, или три единицы пятого знака логарифма. Так как вычисление сетей съемочного обоснования ведется при помош,и пятизначных таблиц логарифмов, то, очевидно, увеличивать протяженность зоны по долготе свыше 6° нельзя.

Приходится также иметь в виду, что геодезические и топографические данные, вычисленные в проекции, отличаются от соответствуюш,их данных в натуре. Но нельзя требовать, чтобы инженер-проектировщик при использовании топографо-геодезических данных для составления проекта или при перенесении его в натуру имел дело с какими-либо редукциями. Это приводило бы к различным недоразумениям и ошибкам. Линейные искажения на краю шестиградусной зоны достигают величины порядка 1 : 1200; для проектирования различных инженерных сооружений такое масштабное искажение на плане или в геодезических данных не может считаться допустимым. С применением трехградусных зон (Z = 1°30 ) линейные искажения приблизительно равны 1 : 5000. Этой величиной уже во многих случаях можно пренебрегать. Поэтому в районах крупномасштабных съемок, результаты которых будут использоваться для проектирования и инженерных расчетов, координаты пунктов следует вычислять в трехградусной зоне с применением в отдельных случаях частных осевых меридианов.

В издаваемых в настоящее время каталогах геодезических пунктов, помимо прямоугольных координат х ж у, приводятся, как правило, сближения меридианов и масштаб изображения.

Для всей территории СССР абсциссы х положительны, поэтому знак плюс обычно не ставится. Ординаты у могут иметь и положительные, и отрицательные значения. Чтобы избежать ошибок, которые могут возникнуть вследствие неправильного учета знака ординат, начало счета последних сдвигают на запад на 500 км, т. е. к значениям ординат алгебраически прибавляют 500 км и впереди полученной суммы ставят номер зоны, к которой отнесены координаты данного пункта. Если, например, данная точка расположена в зоне № 7 и ее ордината у = -74,24 км, то преобразованное указанным образом значение ординаты будет 7 425,76.

Координаты Гаусса - Крюгера прочно вошли в практику геодезических работ в СССР, они обеспечивают простое использование результатов этих работ в различных целях, о которых было сказано в начале главы. В настоя-