Нефть и песок О стали Компрессор - подбор и ошибки Из истории стандартизации резьб Соперник ксерокса - гектограф Новые технологии производства стали Экспорт проволоки из России Прогрессивная технологическая оснастка Цитадель сварки с полувековой историей Упрочнение пружин Способы обогрева Назначение, структура, характеристики анализаторов Промышленные пылесосы Штампованные гайки из пружинной стали Консервация САУ Стандарты и качество Технология производства Водород Выбор материала для крепежных деталей Токарный резец в миниатюре Производство проволоки Адгезия резины к металлокорду Электролитическое фосфатирование проволоки Восстановление корпусных деталей двигателей Новая бескислотная технология производства проката Синие кристаллы Автоклав Нормирование шумов связи Газосварочный аппарат для тугоплавких припоев
Главная --> Промиздат -->  Астрономические методы 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 ( 66 ) 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169

Возьмем некоторую точку А и определим ее положение на сфере в системе координат Зольднера. Для этого проведем из точки А большой круг АА q. перпендикулярный к начальному меридиану - оси абсцисс РР,. Координа тами точки А будут: х - длина дуги OA q, у - длина дуги АА q.

Возьмем вторую точку В; ее координатами соответственно пусть будут Х2 и у2- Расстояние между точками А и В определяется длиной дуги большого крута S. Если отложить по дуге большого круга от точки Bq расстояние А А = = Ул = BqB то отрезок дуги ВВ будет Ау = у - у,.

с,


в; в

Рис. 95

Проведем в А я. В большие круги АС и ВС составляющие с дугами AAq и BBq прямой угол. Тогда угол в точке А между дугами АС я АВ будет дирек-пионным углом 02.1 направления АВ\ аналогично угол между ВС, и ВА - дирекционным углом ai.2 направления ВА.

Далее обозначим: В - радиус сферы, z - длину дуги АВ, Q - полюс большого круга POP

Применение описанной системы сферических координат на плоскости заключается в следующем:

1. Осевой меридиан POP, изображается на плоскости прямой РОР, (рис. 95).

2. Большие круги OAq и ОВ q изображаются прямыми, перпендикулярными к прямой POPi и расположенными на расстоянии, равном разности абсцисс точек А ш В.

3. Малый круг сферы, параллельный осевому меридиану, изображается прямой, параллельной изображению осевого меридиана Р0Р[ и расположенной от него на расстоянии, равном ординате этого малого круга. Описанные условия изображения сферических элементов системы на плоскости вполне определяют положение точек Л и Б на плоскости. Они изображаются точками Л, и J5 и будут иметь плоские координаты, равные сферическим*.

Но, конечно, взаимное положение этих точек на плоскости иное, чем на сфере. Это легко усматривается из сопоставления рис. 94 и 95.

* Сферические координаты как плоские использовал французский геодезист Кассини, Поэтому описываемые плоские координаты называются также Кассини Зольднера.



Допущение, что Земля - шар, а не эллипсоид, может быть практически оправдано только в пределах некоторой зоны как с севера на юг, так и с востока на запад. Если воспользоваться теорией Гаусса конформного изображения эллипсоида на шаре, то можно сделать вывод, что без практически заметных линейных и угловых искажений можно не различать эллипсоида от шара в пределах зоны, ограниченной параллелями, отступающими одна от другой до 212° и меридианами - до 2° (для средних широт). Соответствующие ограничения, притом значительно более жесткие на размер этой зоны, накладывают допустимые размеры искажений при переходе со сферы на плоскость. Конечно, в зависимости от точности геодезических сетей и их назначения размер таких участков, определяющих, по существу, самостоятельные (частные) системы координат, будет меняться. Здесь важно отметить следующий основной вывод: использование проекции Зольднера, т. е. системы сферических координат, как плоских на значительной территории, вызвало бы необходимость образования множества зон, ограниченных как меридианами, так и параллелями. К этому следует добавить, что для вычислений в каждой зоне было бы необходимо принимать разные постоянные, например частные начала координат (отличающиеся не только долготами, как в проекции Гаусса - Крюгера, но и широтами). Это привело бы к образованию значительно большего числа смежных границ зон, чем в проекции Гаусса - Крюгера. Все это делает проекцию Зольднера значительно менее удобной для использования как системы плоских прямоугольных координат на большой территории.

К этому следует добавить, что учет искажений в проекции Зольднера более громоздок и сложен, чем в проекции Гаусса - Крюгера: при учете линейных искажений необходимо принимать во внимание ориентировку линий; учет угловых искажений необходимо вести с несравненно большей тщательностью и подробностью независимо от протяженности направления.

Все вместе взятое дает основание сделать вывод, что проекция Зольднера по многим и весьма существенным моментам уступает проекции Гаусса - Крюгера.

Давая краткое описание проекции Зольднера, следует отметить, что математически вопрос о замене сфероида сферой может быть решен, причем строго, следующими двумя путями, если размер зоны не позволяет пренебречь сферои-дичностью Земли:

1. Двойным переходом с эллипсоида на плоскость: первоначально осуществляется переход с эллипсоида на шар, пользуясь тем или иным законом изображения, например конформным Гаусса, а затем с шара на плоскость - описанным выше.

2. Введением сразу не сферических, а сфероидических прямоугольных координат; в этом случае у измеряется как длина геодезической линии, составляющая с осевым меридианом 90°, ад; - соответствующая дуга меридиана (дуга эллипса). I

Эти дополнительные ;сведения, конечно, не меняют сделанного заключения о практическом применении проекции Зольднера в геодезии.

Система прямоугольных плоских координат Зольднера впервые начала применяться в начале прошлого столетия в Германии, при кадастре и землеустройстве; она начала применяться и в СССР в двадцатых годах, главным образом в землеустройстве. Но когда в начале тридцатых годов в связи с большим развитием геодезических работ в СССР встал вопрос о выборе и переходе к единой системе плоских прямоугольных координат, то по указанным выше соображениям проекцию Зольднера отвергли и приняли проекцию Гаусса - Крюгера.



2. Стереографическая проекция

Напомним, что стереографическая проекция шара на плоскость представляет собой частный случай перспективных проекций, когда точка зрения находится на поверхности шара; картинная плоскость перпендикулярна диаметру шара, на котором располагается точка зрения. nanruHaf,

Рис. 96 дает геометрическое представление о стерео- ппостсть 7 м графической проекции шара на плоскость.

Эта проекция обладает двумя важными свойствами: 1) она конформна; 2) большие и малые круги на шаре изображаются также соответствуюш;ими кругами.

Перспектива эллипсоида на плоскость не обладает этими свойствами.

Стереографической проекцией эллипсоида на плоскость называют такую, которая обладает указанными двумя свойствами проекции шара на плоскость и пре-враш;ается в нее при сжатии, равном нулю. Этим условиям могут удовлетворять многие проекции. Наиболее известны стереографические проекции Гаусса, Руссе ля и так называемая Голландская.

Для последуюш;ей характеристики проекций применительно к геодезическим целям приведем без вывода основные формулы проекции в определении Гаусса.

Основное уравнение проекции


О (точна зрения)

Рис. 96

- x-\-iy = k-

ge tg0 -tg -фо

А; = 2ЛГ , ф = 900-В, Фо = 90°-Бо,

Nq - радиус кривизны первого вертикала в точке зрения,

(1+есозфу/2е 1-есозф/ ~ / 1--есо8фо y/Je \ 1 - е cos фо J

Bq ж Lq - геодезические координаты центра проекции {xq = 0; z/q = 0). Далее приведем формулы, характеризующие искажения проекции. Масштаб изображения выражается формулой

(47.1)

ш = 1 +

(47.2)

Из формулы (47.2) следует, что искажение одинаковое в радиальных направлениях от центра проекции. Отсюда можно сделать вывод, что проекцию целесообразно применять для изображения частей поверхности эллипсоида, имеющих круглые очертания.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 ( 66 ) 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169