Искомые координаты ж, у точки М определятся путем интерполирования следующим образом:

(44.16)

где члены I и II - поправки, получающиеся из линейного интернолирования; величины бо; и бг/ - поправки за нелинейное изменение абсцисс и ординат в зависимости от изменения В ж. I.

Рис. 88

Рис. 89

Эти поправочные члены даны в таблицах; они вычислены по формулам

Ьх = -ф N sin 2В {I - 1хУ [7,5 - {I - lY] =

= 0,135 sin 2В {I - IxY [7,5 - {I - l)] бу - НУ г.. - У. .)~(У..~ У. х)] (1) (-)

(44.17)

Долгота I от осевого меридиана по-прежнему получится I = L - Ь. Координаты вершин трапеции рекомендуется выписывать в схемы, показанные на рис. 88 и 89.

Плоские прямоугольные координаты по таблицам Вировца вычисляют с точностью порядка 0,2 м. Этими таблицами, обеспечивающими наибольшую простоту вычислений, и следует пользоваться во всех случаях, где точность 0,2 м достаточна.

§ 45. Преобразование координат Гаусса - Крюгера из одной зоны в другую

На практике нередко возникает задача перевычисления (преобразования) координат из одной зоны в другую. Эта задача заключается в том, что координаты какого-либо пункта или многих пунктов, отнесенные к осевому меридиану с долготой Lq одной зоны, требуется перевычислить с отнесением к осевому меридиану другой зоны, имеющему долготу Lq. Такая задача может возникать в следующих случаях:

1) если триангуляционная сеть расположена на стыке двух смежных зон (исходные данные в восточной и западной частях триангуляции отнесены к разным осевым меридианам этих зон), то для уравнивания такой триангуляции в системе одной зоны необходимо преобразовать координаты исходных пунктов из одной зоны в другую;

2) в связи с переходом на систему трехградусных зон в районах, где намечено исполнение топографических съемок в крупных масштабах (1 : 10 ООО, 1 : 5000), при наличии координат опорной сети, вычисленных в шестиградусной зоне, возникает задача перевычисления координат из шестиградусных зон в трехградусные или в зону с частным значением долготы осевого меридиана;

3) при обработке ходов съемочного обоснования аэрофотосъемки на границе зон необходимо координаты опорных пунктов государственной триангуляции иметь в одной системе; если эти пункты расположены в разных зонах и координаты их отнесены к разным осевым меридианам, то возникает необходимость перевычисления координат из одной зоны в другую;

4) если выполнены съемочные работы для составления специальных крупномасштабных планов и район работ оказался на стыке двух зон, или даже в одной зоне, но на ее краю, то возникает необходимость перевычисления координат имеющихся опорных пунктов при некотором другом осевом меридиане, проходящем через территорию данной съемки. Это оказывается необходимым в связи с недопустимой величиной искажений на краю зоны при использовании в специальных целях съемочных материалов.

При окончательном вычислении координат пунктов государственной триангуляции и составлении каталогов принято за правило проводить перекрытие зон, т. е. для точек, лежащих вблизи раздельного меридиана, давать координаты в двух смежных зонах. Эта мера в значительной степени приводит к сокращению случаев необходимости преобразования координат пунктов из одной зоны в другую, но не исключает их.

Способов перевычисления координат пунктов из зоны в зону существует несколько. Рассмотрим некоторые из них.

1. Если возникает необходимость преобразования координат из одной зоны в другую для одного-двух пунктов, то можно применить следуюпщй способ.

Пусть даны координаты xj, yi пункта Р в зоне I; требуется перевычислить эти координаты в зону II. Поступаем следующим образом:

а) от известных координат xj, yj пункта Р переходим к геодезическим координатам его В я L:

б) по найденным таким образом геодезическим координатам пункта Р, принимая осевой меридиан зоны II, вычисляем искомые прямоугольные координаты хи и рп.

Задача решается принципиально просто и точно, но для перевычисления координат значительного числа пунктов этот способ не может быть рекомендован вследствие большого объема вычислительной работы.

2. Второй способ преобразования координат, который целесообразно применять для значительного числа пунктов, основан на переходе от редуцированных направлений и сторон в системе зоны I к направлениям и сторонам на сфероиде, а от них - к редуцированным направлениям и сторонам в системе зоны II и вычислению искомых координат пунктов в этой зоне по обычным формулам. Могут быть некоторые варианты в применении этого способа в зависимости от конкретных условий задачи. Рассмотрим более детально один из типовых случаев.

На рис. 90 изображена триангуляция в виде ряда между твердыми сторонами АВ и CD. Координаты исходных пунктов А ш В даны в системе зоны I, а пунктов С и D - в системе зоны И. Уравнивание ряда должно быть выполнено в одной зоне. После уравнивания координаты пунктов 1-7 должны быть окончательно даны в системе зоны I, а координаты пунктов 4-9 - в системе зоны И, что обеспечит взаимное перекрытие смежных зон. Так как большая часть ряда расположена в зоне I, то уравнивание следует вести в системе этой зоны. Задача решается в следуюш,ем порядке:

а) от координат пунктов D л С, данных в системе зоны И, переходят к координатам в системе зоны I описанным выше способом;

б) вычисляют приближенные координаты всех пунктов ряда, начиная от пунктов А ж В в системе зоны I; при помопи этих координат определяют редукции направлений и вводят их в измеренные направления. В результате этих вычислений все элементы ряда получаются отнесенными к системе зоны I;

в) производят уравнивание ряда;

Рис. 90

г) из уравненных направлений с пунктов 4-9 вычитают вычисленные редукции направлений и получают таким образом уравненные направления на эллипсоиде;

д) по координатам пунктов С ж D, отнесенным к зоне П, определяют приближенные координаты пунктов 4-9 и вычисляют редукции направлений с этих пунктов; после введения этих редукций в уравненные сферические направления получают уравненные направления на плоскости с указанных пунктов в системе зоны И;

е) вычисляют окончательно координаты пунктов 1-7 при помощи исходных координат пунктов А ж В ж уравненных направлений на плоскости, полученных после выполнения п. в , и координаты пунктов 4-9 при помощи координат пунктов Си/), отнесенных к системе зоны И, и уравненных направлений на плоскости, полученных в результате выполнения п. д .

Таким образом, поставленная задача решена. При этом в связи с расположением ряда в двух зонах дополнительной работой явилось приближенное вычисление координат пунктов и редукций направлений для меньшей половины ряда (не считая преобразовачия координат пунктов Z) и С по первому способу).

Применение настоящего способа обеспечивает получение преобразованных координат с полной точностью, соответствующей данному классу триангуляции.

3. Большинство других способов основано на применении различного рода таблиц. Из них отметим таблицы, составленные А. М. Вировцем и Б. Н. Рабиновичем*. При применении этих таблиц на вычисление отдельного

* А. М. Вировец и Б. Н. Рабинович. Таблицы для преобразования прямоугольных координат. М., Геодезиздат, 1952.