введения проекции поверхности эллипсоида на плоскость, т. е. изображения частей земной поверхности на плоскости по определенному закону.

В настоящее время в СССР принята проекция Гаусса - Крю-гера или система прямоугольных плоских прямолинейных координат в конформной проекции Гаусса, в которой производят вычисления всех пунктов опорной геодезической сети.

§ 4. Связь между некоторыми системами координат

1. Связь между геодезической широтой В я координатами X и у, отнесенными к плоскости меридиана определяемой точки. Возьмем меридианный эллипс, проходящий через точку М (рис.8). Напишем уравнение этого эллипса

Х2 ,у л

(4.1)

Известно, что тангенс угла, образуемого касательной к кривой в данной точке с положительным направлением оси абсцисс,

есть первая производная следовательно.

Рис. 8

= tg (90° -f 5) = - ctg В.

(4.2)

Выразим первую производную в функции прямоугольных координат х,

у. Дифференцируя (4.1), находим

= 0,

откуда

dy dx

Сопоставляя выранения (4.2) и (4.3), находим

(4.3)

(4.4)

Уравнение (4.4) дает выражение для геодезической широты как функции прямоугольных координат х, у.

Чтобы найти обратную зависимость, т. е. выразить хну как функции геодезической широты В, вспомним (2.7).

На основании (4.4) напишем

tg5 =

а-(1 -е)- X

1 У 1 - е2 X

(4.5) 21

y-x{i-e)tgB. (4.6)

Перепишем (4.1), заменив у, согласно уравнению (4.6), получим

а2 -Г а2 (1-е2) ~

Решая это уравнение относительно х, находим:

- {1+ (l-2tg2i?}=l,

acosB (4.7)

yi -e2sin2 5

откуда окончательно

Для нахождения у подставляем в уравнение (4.6) найденное значение х согласно (4.7). Получим окончательно

Из рис. 8 следует, что абсцисса точки М

х = 0М = МС

в то же время является радиусом г параллели, проходящей через точку М и имеющей широту В. Следовательно,

гх= ,13=. (4.9)

2. Связьмежду геодезической широтой В и геоцентрической широтой Ф. Из рис. 9 легко находим выражение для геоцентрической широты в функции прямоугольных координат х ж у

tg0 = -. (4.10)

На основании формулы (4.5) имеем

следовательно,

tg0 = tgB{\~e). (4.11)

Найдем выражение для разности геодезической и геоцентрической широт В - Ф. Из формулы (4.11) имеем:

tgB-tg0==e4gB, sin(-0) g

cos jB COS Ф

sm{B - 0) = esinBcos0. (4.12)

Полученная формула еще непригодна для практического употребления, так как sin {В - Ф) выражается в функции В и Ф. Однако вследствие незначительности разности {В - Ф), не превышающей, как увидим далее, 11,8, можно в правой части уравнения (4.12) cos Ф заменить через cos В. Рассмотрим, какая погрешность будет допущена при такой замене. Для этого (4.12) перепишем так:

81Т\{В - Ф) = е8тВсо5[В-{В-Ф)]. Раскладывая cos [В - {В - Ф)] по строке Тейлора, получаем: sin (В - Ф) = sin В [cos В+{В - Ф)зт В], sin {В-Ф) = sin Б cos В {В- Ф) sin В,

Второй член в правой части полученного выражения представляет собой малую величину порядка (величина {В - Ф), согласно формуле (4.121, является малой величиной порядка е). р

Поэтому, если в правой части уравнения (4.12), заменим cos Ф через cos В, то пренебрежем членами порядка е*. С этой точностью

sin(5-Ф) =-ie2sin 2В.

Раскладывая sin {В - Ф) в ряд и ограничиваясь первым членом, получаем приближенную формулу

(Б-Ф) --pVsin 25,

(4.13)

Рис. 9

допустив снова при этом погрешность порядка е*. Нетрудно видеть, что максимальное значение {В - Ф) будет при В = 45°. В этом случае {В - Ф) = 11,8.

Более точная формула для {В - Ф) имеет вид [27, стр. 24].

(5 -Ф) = р

2 -е2

sin IB

sin 45

sin 6i5- ...

(4.14)

2(2 -e2)2 I 3(2 e2)3

3- Связь между геоцентрической широтой и координатами а;и1/, отнесенными к центру и осям эллипса. Выражение радиуса-вектора. Обозначая радиус-вектор ОМ через р, на основании рис. 9 напишем:

р/а;2- арсозФ; г/ = рз1пФ. (4.15)

Подставляя эти выражения в уравнение меридианного эллипса (4.1),

получаем

р2 C0S2 Ф р2 sin2 Ф -2 Г-д2(1 е2) ~

Решаем это уравнение относительно р:

(11,2) 1С 0S2 Ф (1 - sin2 ф] = 1,

а2 (1 - е2)

(1 -ecos Ф)=1,