Для параллели = О поэтому (41.1) примет вид

dy 1

Т7-Б see 7. (41.2)

dl NcosB

Вычисляя производную по I от выражения (38.12), получаем

41 = iV COS В-Ь соз В (1 - i2 4- п) -f- cos6 В (5 - 182 + t), (41.3)

2р 24р

далее

sec 7 = 1 -f -ТГ +

2 24

7 D 1 l sin В COS В /4,0 0, /\

Y = ZsinB----(1 + 3ti2). (41.4)

После подстановки (41.3), (41.4) в формулу (41.2) получим окончательно

-5- C0S2 В (1 -f- П) 4--

2р 2 V -г I у . 24р

+ C0S2 в (1 + ri2) + (5 - 42). (41.5)

Для выражения масштаба в функции плоских координат подставим в формулу (41.5) значения I и cos В согласно (39.13) и (40.6), тогда получим

Так как- = - = -г-, то формула (41.6) может быть представлена

в виде

2/2 т- 24i?J

Имея в виду, что Ig {i -\- х) = - переписываем в логарифмическом виде формулу (41.7)

lg = i J. (41.8)

2i?2 12Д4 /

где [Л - модуль десятичных логарифмов.

§ 42. Формулы для перехода от расстояний на эллипсоиде к расстояниям на плоскости в проекции Гаусса - Крюгера

Пусть на плоскости расстояние по прямой между точками а и b равно S (рис. 82), а расстояние между соответственными точками на эллипсоиде, читаемое по геодезической линии, равно s. Кривая аЪЪ есть изображение геодезической линии АВ на плоскости в проекции Гаусса - Крюгера. Через а обозначим длину этой кривой, а через v - угол между некоторым элементом do кривой аЪЪ и хордой аЬ. Будем иметь

aS = j* cos V do. о

Величина v, как увидим дальше, выше второго порядка; пренебрегая

В разложении cos v в ряд вторым членом--допускаем погрешность в о-о

на малую величину выше четвертого порядка, поэтому можем считать

S = o.

Для масштаба изображения имеем

откуда

(42.1)

Vi.2)

Имея в виду, что

m = i

получаем

(42.3)

Пренебрежем в подынтегральной функции членом ; при значении

= 100 км, т. е. при положении точки на краю трехградусной зоны, это даст

погрешность в переносе длины сэллипсоида на плоскость меньше, чем у X

X 10 ®, поэтому примем а

s=\li-\dS, (42.4)

где Rm - средний радиус кривизны для средней точки линии аЪ, который при интегрировании уравнения (42.4) будем считать постоянным.

Обозначив через р расстояние элемента dS от а, через Ух - ординату точки а, а через Т - дирекцион-ный угол линии аЬ, будем иметь

/ = J/i + psinr,

(42.5)

Рис. 82

следовательно.

P = S

(yipsinr)2

2}?I

2yisinrp2 p3sin2r

2.2RI 6i?2

yi sin TS SsinT\

(42.6)

Имея в виду, что

получаем

Ух = Ут--2~

2Ла. 2i?i 6Rl

s = S

iy) (Ay)2

2Rl ml

Решая последнее выражение относительно S, получаем

(Ay)2

(42.7)

§ 43. Формулы для вычисления поправок в направления за кривизну изображения геодезической линии на плоскости

В конформной проекции углы и направления переносятся с эллипсоида на плоскость без искажений, но геодезическая линия изображается на плоскости не прямой, а некоторой кривой. Пусть, например, на рис. 83: о, i, к - изо-

Рис. 83

Рис. 84

бражения на плоскости точек О, /, К поверхности эллипсоида; геодезические линии, соединяюш;ие точку о с i ж к, изобразятся кривыми oi и ок; угол между касательными ок и oi к этим кривым в точке о будет в точности равен углу между геодезическими линиями ОК и 01 на эллипсоиде. Однако для прак-