откуда после простых преобразований получаем

= - Msin В.

[Я9.16)

Следовательно,

dX г2 М

sin Bi

sin г2

/ d2q \ sin J?i \dx2)i 2 - JVCOSyi

Принимая bo внимание (39.11), (39.13) и (ЗЭ.16), искомые выражения (39.7),. (39.9) для координат В и I приближенно напишем так:

В = Ву

Nicos Вi

(39.17)

Вычисляя в выражениях (39.7) и (39.9) производные высшего порядка, получаем формулы, удовлетворяющие по точности все случаи практики.

Опустив вычисления этих производных и последующие преобразования, напишем точные формулы в окончательном виде:

Л, соу и i

120Л

В = Ву

(Bl + 90i; + 45fJ)

3607Vf

(39.18)

(39.19)

§ 40. Формулы для вычисления сближения меридианов на плоскости

Сближение меридианов может быть выражено в функции геодезических координат и в функции прямоугольных координат.

1. Сближение м ридианов на плоскости в функции геодезических координат. Пусть точка а (рис. 80) - изображение на плоскости точки А эллипсоида; ns - изображение на плоскости меридиана, проходящего через точку А; aw - изображение на плоскости параллели, проходящей через ту же точку А, аЪ - прямая на плоскости, параллельная оси абсцисс; ае - прямая, параллельная оси ординат; у - сближение меридианов на плоскости, равное углу при точке а между ирямой аЪ и кривой an.

Очевидно, угол равен также углу между изображением параллели aw и ирямой ае. Возьмем на изображении параллели aw точку а, бесконечно

близкую к точке а. Разности координат точек а и aj будут равны dx и dy. Из элементарного треугольника ааа (рис. 81) имеем

tg7 =

(40.1)

причем находится из уравнения кривой ai/;, для которой, как для дуги параллели, широта В должна быть принята постоянной величиной (можно взять

элементарный треугольник, используя элементы кривой an и прямой аЪ\ однако это невыгодно, так как в этом случае широту В нельзя считать постоянной величиной, что усложнило бы последующее дифференцирование).

Рис. 80

Рис. 81

Уравнение (40.1) можно переписать так:

dx It

(40.2)

Производные и найдем путем дифференцирования выражений (38.11) я (38.12). Из (38.11) с ошибками на величины второго порядка имеем

и из (38.12)

dx l N sin В cos В dl ~ п

dy TV cos j?

dl p

Ha основании (40.2) с ошибкой на величину третьего порядка

tg 7 = - sin В.

(40.3)

В результате дифференцирования формул (38.11) и (38.12) по I с учетом всех членов и после подстановки в (40.2) получим

tg 7 = 4--ig-sin В cos2 В (1-Ь 2 Зт] 4-2т) ) +

+ sin В COS* В12+ 42 4- 2t%

(40.

Так как

то из (40.4) имеем окончательно

Y = l smB+~ sin 5 cos2 В (1 + Зт) + 2ti*) + sin В cos* В {2-1% (40.5)

2. Сближение меридианов на плоскости в функции плоских координат. Выражение для сближения меридианов в функции плоских координат получится путем замены в (40.5) I через прямоугольные координаты и замены аргумента В через В,. Последняя замена осуществляется путем предварительного разложения по строке Тейлора выражений:

sin В sin {В,-{Вг - В)} = sin - (Bi- В) cos В, - {Вх-Вр

sin 5 = sin В,-

, sinBi(l + Tin + -sinJ5i

cos2B = cos2i5i/l-f-4- tf После указанных подстановок получим окончательно

(40.6)

(40.7)

или в логарифмическом виде

dNl cos2 Bi 20N* cos4 Вi

(l - Л1 cos2 5i - 2r]; cos2 Bi) -b

(13-6C0s2i?i).

(40.7*)

Нетрудно видеть, что главные члены для 7 соответствуют разности прямого и обратного азимутов в главной геодезической задаче, если у заменить через sin Л1

§ 41. Формулы для вычисления масштаба изображения

Для получения формул масштаба изображения в функции геодезических координат согласно формулам (37.2) и (37.4) напишем

dx2dy2 {dyy

M2d£2 7V2cOs2 5dZ2 \dlj

/ dx \2

\dy)

( \ N COS В dl J )

Ha основании (40.1) будем иметь

H-(-g) = l + tg7 = sec2y.

7. (41.1)