dB ~ V

(38.7)

Подставляя последнее выражение в (38.6), получаем

dX dq dB

С С с

Так как из формулы (38.3) = cos В, то на основании формулы (38.5)

получаем вторую производную

dX £ sin 2В

(38.8)

Имея в виду, что = значения первой и второй производных напишем

так:

= NcosB

dX N . cr.

(38.9)

Пользуясь формулами (37.16), (37.17) и (38.9), находим главные члены выражений для х в. у как функций геодезических координат:

1 sinBcos5+...

y = NcosB4- . ..

(38.10)

Выражения (38.10) для хж у, полученные без учета второго и последующих членов рядов (37.16) и (37.17), для точных вычислений непригодны. Для получения формул, позволяющих (вести вычисления требуемой в триангуляции

точности, необходимо вычислить производные] до шестого порядка включительно и после подстановки их значений в формулы (37.16) и (37.17) получить выражения для х ж у.

Не приводя выкладок, связанных с получением указанных производных высшего порядка, и последующих преобразований при подстановке этих производных в (37.16) и (37.17), напишем окончательный результат

х = Х

iV sin 5 COS В

12р

(38.11)

y = yNcosBfi +

Z 2 cos2 в

(1 2+T]2) +

I20p * (5-18z2 + i*+lV 58Z2)}.

(38.12)

§ 39. Формулы для вычисления геодезических координат по координатам Гаусса - Крюгера

Вывод настоящих формул дадим по методу, предложенному Г. В. Ваг-ратуни *.

Решая уравнения в общем виде относительно q -\- И ж q - il, получаем

q-il=F{x-\-iy) q- и -F {x-iy)

Применяя ряд Тейлора к (39.1), находим

q~\-ilF {x+iy) = F{x) + iyF - (x)-F {x) ---(.) + .) + ...

q-il=F{x-iy)F{x)-iyF{x)-F\x)-{-

Беря полусумму и полуразность выражений (39.2), получаем q=Fix)-FHx)F-ix)-l.,

lyF\x)-yF\x)+ ,.

(39.1)

(39.2)

(39.3) (39.4)

Ппосность

Выражения (39.3) и (39.4) вытекают из условия конформности проекции с эллипсоида на плоскость.

Для вычисления рядов (39.3) и (39.4) по-прежнему вводим условия проекции Гаусса - Крюгера плоскости на эллипсоид:

1) при у = О должно быть Z = О и 2) F {х) = = 1-

На рис. 79 заданная абсцисса х точки а определяется прямой Oi, которая, согласно данному условию, должна равняться длине дуги меридиана от экватора до некоторой точки (рис. 78), широту которой обозначим через В-,-, следовательно, при у = О ж I = О выражение (39.1) должно обратиться в равенство

F{x)q (39.5)

>Х

Изображение зкватора

Рис. 79

где q, вычисляется как функция широты Вширота В-у может быть сразу легко получена по х из таблиц длин дуг меридианов.

Таким образом, формула (39.5) выражает рассматриваемое второе условие проекции Гаусса - Крюгера.

* Труды МИИГАиК. Вып. 24, стр. 57-59.

с учетом поставленных условий уравнения (39.3) и (39.4) примут вид:

Далее вспомним, что

* у KdxJx 6 Wxs/i-

(39.6) (39.7)

dq =

М dB

Л/ COS JL.

NcosB*

Ha основании последнего в общем виде можем нанисать

Б = ф(д) = ф[д1 + (д-д,)1, (39.8)

Применяя ряд Тейлора и заменяя (д - q), на основании (39.6) получаем

в-в -[() - yL(\ 1

(39.9)

(при этом учтено, что всегда В В).

Формулы (39.4) и (39.9) в общем виде решают задачу перехода от прямоугольных координат Гаусса - Крюгера к геодезическим.

Для получения рабочих формул находим необходимые производные.

Имеем

, М dB dq -

Имея в виду, что dx ()

NCOS В MdB, получаем

I COS П \, dq

dq \ 1

dx ) X Nl cos Вi

ИЗ (39.10)

/ dB \ Nl cos Bl \ dq )i~ Ml

Переходим к вычислению вторых производных

(39.10;

(39.11) (39.12) (39.13)

(39.14) (39.15)

Вычисляем

= -j (NcosB) = - NsmB+ COS В-[a(1 -sinВ)У*] = = - iVsin B-\- cos В

ae sin В cos В