,п = -}Щ±Мт=. (37.5)

N cos в у {dq)-{d 1)2

Перепишем уравнение (37.5) в виде

2 {dx+i dy) {dx - i dy) г..

m cos-2 В {dq + i dl){dq-idl)

где

Уравнение (37.6) выражает масштаб изображения для произвольного закона изображения. Для обеспечения конформности изображения масштаб т по всем направлениям должен быть одинаков и зависеть только от координат данной точки, но не от направления элемента ds. Следовательно, вид функции, определяющий зависимость между координатами на плоскости и геодезическими координатами на эллипсоиде, должен быть таков, чтобы выражение

(37.6) для масштаба не зависело от отношения дифференциалов или-,

которые определяют направление отрезков dS или ds.

В теории функции комплексного переменного доказывается, что Р -\- iQ только тогда является аналитической функцией комплексного переменного , . diP-iQ) dp d(PiQ)

Р + когда d(p-\-iq)l зависит от -щ-; наоборот, чтобы не зави-

село от необходимо, чтобы P-j- iQ было аналитической функцией комплексного переменного р + iq. Имея это в виду, переписываем уравнение (37.6) так:

1 d {x-}-iy) d{x~-iy)

mcosB d {q + il)d {q - il)

(37.7)

Согласно изложенному выше свойству функций комплексного переменного, для того чтобы масштаб изображения не зависел от направления отрезка ds

или от , необходимо, чтобы х -\- iy было некоторой аналитической функцией

от q + и или х - iy - аналитической функцией от {q - И), т. е. чтобы

xiy = f{q-il). (37.8)

Справедливость и достаточность последнего условия можно еще доказать следующим образом. Если имеет место условие (37.8), то

Заменив в (37.8) -f i на - i, получим:

x-iyf{q-il) (37.10)

d (x - iy)

d {q - il)

r{q-il). (37.11)

Следовательно, выражение (37.11) имеет место, если поставлено условие (37.8). На основании формул (37.9) и (37.11) выражение (37.7) примет вид

= = + - )- (37.12)

Производные f {q И) я. f {q - il) при наличии условий (37.8) и (37.10) зависят только от координат х, у или q, I, но не зависят от их дифференциалов, поэтому не зависят от них и выражения (37.12) и (37.7), что и требовалось доказать.

Условие (37.8) обеспечит конформность изображения при любом произвольном виде аналитической функции /.

Для получения конформного изображения эллипсоида на плоскости по Гауссу вид функции / определяют путем введения следующих дополнительных условий:

1) осевой меридиан ОР (рис. 78) эллипсоида изображается на плоскости прямой, являющейся осью абсцисс; следовательно, в уравнении (37.8) при I - О ординаты у должны быть равны нулю;

2) для точек осевого меридиана абсциссы х должны быть равны соответствующим дугам X, т. е. дугам меридиана от экватора до данной точки с широтой В.

Отсюда в уравнении (37.8) при г/ = О

x = j{q)X. (37.13)

Разложим / ( + Щ в ряд Тейлора, предполагая, что величина И сравнительно невелика. Будем иметь

W +...

Xiy-JL-YU 1 dq +

+ 24 ~~d 120 dqb 720 {-V

Производные в этом ряде должны быть вычислены при 1 = 0, вследствие чего они обращаются в производные

dX d-X dX

dq dq dq

поэтому

. .J dX Z2 dX iP dX , dX x+iyXil --

dq 2 dqi 0 dq 24 dq

+ 120 dq 720 gc + {6i.iD)

Приравнивая порознь действительные и мнимые части в полученном выражении, находим в общем виде основные уравнения, определяющие закон изображения точек эллипсоида на плоек ости в проекции Гаусса:

Z2 dx , dx гб dGx , A п.

= --2 d + l4 ~72(r d+ (-

j dX IS dX , z5 dX . /Q i7\

y~~q 6 l20 d ~ {6i.U)

Очевидно, чем больше I, тем больше должно быть удержано членов в уравнениях (37.16) и (37.17), т. е. чем больше будут искажения на краях зоны, тем учет этих искажений сложнее.

Как указывалось выше, в настояш,ее время наибольшая протяженность зон по долготе принята 6°. Таким образом, удаление пунктов от осевого меридиана по долготе не превосходит 3°, поэтому последующие рабочие формулы для вычислений при применении проекции Гаусса - Крюгера и рассчитаны на интервал в долготе Z 3°.

§ 38. Формулы для определения конформных плоских координат х и у по геодезическим координатам В и Jj

Вывод рабочих формул для вычисления координат Гаусса - Крюгера по геодезиче КИМ координатам, очевидно, сводится к нахождению производных

И подстановке найденных их значений в уравнения (37.16) и (37,17).

Введем обозначения:

с = ; tgB==t; ц = есо5В; 1-\-ц = У\ (38.1)

Так как dX - дифференциал дуги меридиана, то

dX = MdB,

или, согласно (5.9),

dX = dB. (38.2)

При выводе основных формул проекции мы обозначили

. М dB

или, учитывая формулы (5.9) и (5.10), можно написать

Я-уёпГ (38.3)

Получаем выражение для первой производной

= 4-cos В. (38.4)

dq V

Применяя правило дифференцирования сложной функции, пишем в общем

виде выражение для второй производной

dX dB

(38.5)

dq dqdB dq

Дифференцируем (38.4) no B, имея в виду, что V есть функция J5,

COS В-Sin 5, (38.6)

dqdB F2 dB V

Для нахождения ~ дифференцируем формулу = 1 ecos В:

2VdV= 2е 4os Б sin 5 dB, VdV -e cos Big В dB,