Вводя в длину исходной стороны и в измеренные направления эти поправки, получаем длину и дирекционный угол исходной стороны и направления, редуцированные на плоскость. После выполнения этих вычислений сеть становится подготовленной к уравниванию и окончательному вычислению координат пунктов на плоскости.

4. Уравнивание триангуляции на плоскости; по уравненным углам окончательное вычисление сторон треугольников и окончательных прямоугольных координат всех пунктов триангуляции.

Систему прямоугольных координат Гаусса - Крюгера ввели в СССР в 1930 г. В связи с увеличением объема топографо-геодезических работ возникла необходимость иметь координаты опорной геодезической сети в прямоугольной системе, причем единообразно выбранной. Плоские прямоугольные координаты применялись и до указанного времени; в землеустройстве - координаты Зольднера при частных началах координат в различных районах; в крупных маркптейдерских геодезических сетях - свои системы координат при самостоятельно выбранных началах (например, системы координат Баумана в триангуляции Донбасса). Естественно, такой разнобой в применении системы плоских прямоугольных координат затруднял использование материалов топографо-геодезических работ в общих целях, создавал неудобства при смыкании съемок на граничных линиях районов, имеющих свои системы координат, вызывал необходимость различного рода перевычислений.

В связи с этим третье геодезическое совещание при Госплане СССР в 1928 г. вынесло решение о необходимости введения системы координат Гаусса - Крюгера, установило шестиградусную ширину зон по долготе, определило положение осевых меридианов каждой зоны (как это указано выше) и наметило мероприятия для введения новой системы координат.

В 1930 г. были изданы составленные под руководством Ф. И. Красовского Руководство, формулы и таблицы по применению прямоугольных координат Гаусса - Крюгера , что и способствовало введению этой системы координат в практику геодезических работ. После этого координаты Гаусса - Крюгера получили в СССР всеобщее распространение, и в настоящее время во всех каталогах геодезических пунктов обязательно помещают плоские прямоугольные координаты в этой системе.

Искажение длин на краю шестиградусной зоны может достигать величины 1 1

порядка -QQ- - 2000поэтому при топографических съемках мелкого и среднего

масштабов - 1 : 100 ООО, 1 : 50 ООО - эти искажения во взаимном положении точек при съемках не ощущаются. Учитывать эти искажения необходимо при постановке топографических работ указанных масштабов лишь при развитии съемочного обоснования в виде малых триангуляции, теодолитных ходов и т. п. Измеренные длины линий исправляют путем введения поправок, выбираемых из специальных таблиц.

При крупномасштабных съемках, если они к тому же производятся не графическим, а числовым методом, в пределах небольших участков изменение масштаба становится заметным и его нельзя считать постоянным даже при небольших расстояниях (20-50 км) от осевого меридиана. При проектировании по карте или перенесении проектов в натуру графическая точность масштаба карты и установленные допуски требуют учета размеров искажения. Значительно больший объем неносредственных измерений, требующих учета искажений с большой точностью, не позволяет применять шестиградусную зону для съемок крупного масштаба без того, чтобы не осложнить производство съемок

и использование их результатов. Поэтому наиболее просто и практически удобно в такого рода работах не применять шестиградусные зоны. Для примера приведем описание применения этой системы координат в городских геодезических работах.

Известно, что городские съемки, ведуш;иеся, как правило, числовыми методами, включают создание топографических планов масштабов от 1 : 5000 до 1 : 2000 и крупнее. При этом целесообразно применять систему координат в следующем общем плане.

В качестве исходного принимают пункт городской триангуляции 1 класса, расположенный, по возможности, посередине города и являющийся в то же время пунктом государственной триангуляции или имеющий с последней наиболее надежную и короткую связь. Меридиан, проходящий через этот пункт, принимается за осевой. Этим достигается то, что все пункты городской опорной геодезической сети располагаются в непосредственной близости от осевого меридиана, поэтому искажения проекции, а следовательно, и поправки малы; это позволяет пренебрегать ими, а в особо точных работах учитывать не по полным формулам. Следовательно, опорная сеть при таком выборе осевого меридиана будет редуцирована на плоскость с минимальными искажениями, в большинстве случаев пренебрегаемыми. Для обеспечения близости в значениях координат между этой местной системой координат и общегосударственной шестиградусной системой, для окончательного вычисления координат пунктов следует брать те координаты начального пункта, которые заданы из государственной триангуляции. С этой же целью следует ориентировать городскую триангуляцию по дирекционному углу одного из направлений с местного исходного пункта, но отнесенному к осевому меридиану общегосударственной шестиградусной зоны. Различия в значениях координат, вычисленных в общегосударственной и местной системах, будут независимо от порядка их вьгаислений, так как базисы городских триангуляции приходится редуцировать на среднюю уроненную поверхность города. Но при таком выборе и порядке вычисления координат, который описан, неизбежные различия между значениями координат, вычисленными в общегосударственной и местной системах, будут минимальными, а материалы топографических съемок масштаба 1 : 5000 легко могут быть использованы для государственного картографирования.

Этот пример показывает, как можно применить проекцию Гаусса - Крюгера на отдельном участке территории, на котором производят точные съемки крупного масштаба и который используется под строительство разнообразных инженерных сооружений.

Целесообразно применять шестиградусные зоны для вычисления координат государственных триангуляции, если сплошные топографические съемки государственного значения ставятся в масштабе 1 : 100 ООО и 1 : 50 ООО. В настоящее время приступили к сплошным аэрофототопографическим съемкам в масштабах 1 : 25 ООО, 1 : 10 ООО и 1 : 5000. Для съемок в этих масштабах искажения при применении шестиградусных зон получаются значительными. Для районов этих съемок целесообразно применять трехградусные зоны.

§ 37. Основные формулы

Перейдем к выводу основных формул проекции Гаусса - Крюгера. Задача заключается в определении функций /j и из уравнений (35.1)

Исходные условия для получения этих функций: а) конформность проекции, б) выбор зон и осей координат описанным выше способом, в) изображение осевого меридиана и экватора на плоскости прямыми линиями, г) масштаб изображения по осевому меридиану равен единице.

Пусть на рис. 76: ОЕ -экватор эллипсоида, а РО - осевой меридиан. Дана точка А, имеющий геодезические координаты - широту В и долготу L; точка А1 расположена на бесконечно малом расстоянии от точки А в произвольном направлении от нее; координатами точки А- будут В -\- dB и L -{- dl. Через X назовем длину дуги осевого меридиана от экватора до параллели с широтой В.

Пусть прямые ОхиОу - ось абсцисс и ось ординат соответственно (рис. 77), расположенные перпендикулярно одна к другой, суть изображения экватора

Эппипсоид

Р Осевой

меридиан

Е -

ле/ь

I V-V

г °

Рис. 76

Рис. 77

Рис. 78

И осевого меридиана на плоскости. Пусть точка а - изображение на плоскости точки А\ точка а, находящаяся на бесконечно малом расстоянии от точки а, соответствует точке А Обозначим прямоугольные координаты точки а на плоскости через ж и у, а точки - через хЛг dx жу -f dy. Обозначим расстояние АА 1 (рис. 76) на эллипсоиде через ds, а расстояние аа на плоскости - через dS. Построим вспомогательный треугольник АА ж будем рассматривать его как элементарный, тогда найдем, что А равно элементу дуги меридиана MdB, АС - элементу дуги параллели N cos Bdl. Отсюда

ds = N cos В Введем обозначение

ds = 1/ (М dBf + {N cos В dlf,

М dB

N cos В

y + {diy

М dB N cos В

= dq,

тогда

dsN cos В Vidqf + (0-

Для плоскости

d£=:-V{dxY-\-{dy)\

Масштаб изображения выразится так:

(37.2)

(37.3) (37.4)