зоне имеется свое начало координат - пересечение осевого меридиана с экватором.

В проекции Гаусса - Крюгера осевой меридиан изображается без искажения.

На рис. 72, а показана зона с номером п\ кривые pep и рер, - граничные меридианы; пунктирная кривая рр - осевой меридиан, долгота которого Lo в системе шестиградусных зон определяется по формуле Lq = 6п - 3. Положение точки а, расположенной в этой зоне, определяется широтой в и долготой z, отсчитываемой от осевого меридиана.

Зкдатор

Рис. 72

Рис. 73

На рис. 72, б показано изображение данной зоны на плоскости в проекции, кривые ре/?1 и рер-, - изображения граничных меридианов; прямая рр, - изображение осевого меридиана, принимаемая за ось абсцисс, и прямая ее, - изображение экватора, принимаемая за ось ординат.

Если а - изображение точки а на плоскости, то ее положение определяется показанными на рис. 72 прямоугольными плоскими координатами хну.

Проекция Гаусса - Крюгера конформна. Понятие об условиях и свойствах конформного изображения одной поверхности на другой дано в § 28 главы IV. Напомним основные условия и свойства конформного изображения: бесконечно малый контур на эллипсоиде изображается подобным ему на плоскости; угловые искажения отсутствуют; масштаб изображения в каждой точке зависит только от координат данной точки и не зависит от направления.

В проекции Гаусса - Крюгера поверхность шести- или трехградусной зоны изображается с заметными искажениями, но достоинство проекции - сравнительная простота и высокая точность учета искажений в пределах шестиградусной зоны, чем и обусловлен выбор этой проекции в геодезии.

Пусть на эллипсоиде (рис. 73) дана некоторая триангуляция, состоящая из треугольников abc, bcd, cde; ро осевой меридиан зоны, в которой расположена данная триангуляция. Пусть долгота этого осевого меридиана Lq\ ар - меридиан, проходящий через точку а; at - касательная к эллипсоиду и параллельная плоскости осевого меридиана.

Угол между направлением меридиана АР и касательной AT называется геодезическим сближением меридианов в А и обозначается буквой 7 Угол в А между направлением меридиана АР и геодезической линией АС есть азимут стороны АС; обозначим его через Аас угол в А между направлением касательной AT ж направлением АС есть геодезический дирекционный угол; обозначим его через Тас Очевидно, для эллипсоида получится равенство

Лас = Тас + У-

(36.1)

Пусть на плоскости (рис. 74) в проекции Гаусса - Крюгера изображение тех же элементов будет: точка а - изображение точки А; линия ор - изображение осевого меридиана ОР; кривая an-изображение меридиана, проходящего

Рис. 74

Рис. 75

через точку А; кривая at - изображение касательной AT; точки Ь и с - соответственно изображения точек В и С; кривые а&, ас, сЬ ... - изображения геодезических линий ЛС, С5 и т. д.

Так как проекция конформна, то углы между изображениями линий эллипсоида на плоскости не исказятся и будут соответственно равны А ас-, Тас-,

Проведем через точку а линию, параллельную изображению осевого меридиана, т. е. оси абсцисс; обозначим ее через at. Угол между кривой, изображающей меридиан точки а, т. е. an, и этой прямой, параллельной оси абсцисс, называется сближением меридианов на плоскости и обозначается буквой y-

Вследствие конформности проекции углы треугольников триангуляции также перенесутся с эллипсоида на плоскость без искажений, но эти углы, перенесенные на плоскость, относятся к треугольникам, соединенным кривыми аЪ, ас, сЬ и т. д., что практически неудобно. Для последующих вычислений соединим точки а, Ь, с с прямыми линиями - хордами. Тогда триангуляция на плоскости представится сетью плоских прямоугольных треугольников; решение треугольников и другие вычисления можно производить по формулам прямолинейной тригонометрии. Но для этого необходимо осуществить переход от углов между изображениями на плоскости геодезических линий, являющимися кривыми, к углам, образованным прямыми линиями, соединяющими точки а, Ь,с. Иначе говоря, для каждой стороны триангуляции, точнее для каждого направления, должна быть определена поправка, представляющая собой малый угол между кривой, изображающей геодезическую линию на плоскости, и хордой. Если кривая акЪ (рис. 75) - изображение стороны АВ на плоскости,

а afe - хорда, соединяющая точки а и 6, то угол между направлением кривой акЬ (т. е. касательной к ней в точке а) и прямой аЬ будет искомой поправкой, называемой поправкой за кривизну изображения геодезической линии на плоскости и обозначаемой буквой б. Эти поправки и вводятся в измеренные направления для образования на плоскости треугольников с прямолинейными сторонами.

Вследствие малой кривизны линии акЪ эти редукции малы и их вычисление, как увидим далее, не представляет особого труда; при работах малой точности ими можно пренебрегать. Угол между прямой at параллельной оси абсцисс, и хордой аЪ называется дирекционным углом на плоскости и обозначается через Т.

Из рис. 75 легко получается формула для перехода от геодезического азимута к дирекционному углу хорды на плоскости

ТаЬ = ААВ-Уа-аЬ- (36.2)

Далее будет доказано, что различие в длинах кривой акЬ и хорды аЪ всегда пренебрегаемо мало.

Пусть на эллипсоиде исходной стороной триангуляции будет АВ. Длину геодезической линии, соединяющей точки А ж В, обозначим Sq. Очевидно, при переходе на плоскость расстояние между точками а и Ь не будет равно Sq вследствие искажений проекции. Для перехода от расстояния АВ == Sq к расстоянию на плоскости между точками а ж b необходимо ввести поправку, называемую редукцией расстояний.

Числовые величины поправок за кривизну изображения геодезической линии на плоскости и редукции расстояний по мере удаления от осевого меридиана возрастают. Следовательно, для вычисления указанных поправок необходимо знать координаты верпхин треугольников, причем вследствие малости поправок эти координаты достаточно знать приближенно.

Изложенные сведения позволяют установить следующий порядок действий для перехода с эллипсоида на плоскость в проекции Гаусса - Крюгера, если исходными данными являются длина Sq, азимут А выходной стороны триангуляции и геодезические координаты В ж L одного из начальных ее пунктов.

1. Переход от геодезических координат - широты В ж долготы L начального пункта - к прямоугольным координатам хжу этого же пункта в проекции Гаусса - Крюгера и вычисление для этого же пункта сближения меридианов на плоскости, позволяющего получить приближенное значение дирекционного угла исходной стороны по формуле

Г=А-у: (36.3)

2. Приближенное вычисление сторон треугольников и предварительных координат их вершин с использованием вычисленных координат исходного пункта X ж у ж приближенного значения дирекционного угла, полученного по формуле (36.3).

3. Вычисление редукции длины исходной стороны за переход с эллипсоида на плоскость и поправок за кривизну изображения геодезической линии на плоскости для каждого измеренного направления в триангуляции*.

* Изложенный порядок вычислений применяется при обработке результатов наблюдений в триангуляции 2 класса; в триангуляции 1 класса вычисление поправок производят двумя приближениями. В первом приближении поправки выбирают из таблиц, а аргументы - Значения ординат п разности абсцисс - определяют по чертежу сети.