Глава VI

ПЛОСКИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ ГАУССА - КРЮГЕРА

§ 35. Общие сведения

Конечная практическая цель триангуляционных и полигонометрических работ - определение положения геодезических пунктов на поверхности принятого референц-эллипсоида. Положение этих пунктов можно определить в различных системах координат. Необходимо вычислять координаты пунктов в такой системе, которая была бы проста и обеспечивала бы наиболее удобное и легкое использование координат в разнообразных практических целях. Такой системой является система плоских прямоугольных координат. В этой системе вычисляют координаты пунктов съемочного обоснования, для которых координаты триангуляционных пунктов являются исходными, производят различного рода расчеты при проектировании и строительстве разнообразных инженерных сооружений и перенос проектов в натуру. Использование топографических планов существенно облегчается, если на них нанесена сетка координатных линий в прямоугольной плоской системе координат. Прямоугольные координаты геодезических пунктов необходимы при использовании геодезических данных для оборонных целей.

Система геодезических координат имеет ряд достоинств; она наиболее удобна для решения научных задач высшей геодезии и в этой системе координат обычно обрабатывают триангуляцию 1 класса, однако она неудобна для широкого использования в указанных практических целях. Действительно, взаимное положение пунктов в этой системе определяется в угловых единицах (градусах, минутах и секундах широты и долготы), причем линейное значение этих единиц различно в зависимости от широты места; направления меридианов, от которых отсчитываются азимуты, не параллельны между собой; вычисления при помощи геодезических координат, даже при малых расстояниях, сложны, трудоемки и требуют известной подготовки вычислителя.

Таким образом, для практического использования наиболее удобна система плоских прямоугольных К00РДИН1Г.

Известно, что поверхность эллипсоида не может быть развернута на плоскость без искажений, поэтому и не может быть предложена система плоских прямоугольных координат, в которой без искажений было бы выражено взаимное положение точек земной поверхности. Поставленная задача сводится к изображению поверхности эллипсоида на плоскости по некоторому определенному закону. Математически такой закон (или проекция) в общем виде может быть выражен уравнениями

(35.1)

В этих уравнениях х я у - плоские прямоугольные координаты изображаемой на плоскости точки, выраженные как функции геодезических координат той же точки на поверхности эллипсоида. Если выбрать под тем или иным условием закон изображения точек эллипсоида на плоскости, то можно, пользуясь написанными формулами, получить формулы для перехода от расстояний

и углов на поверхности эллипсоида к соответствующим расстояниям и углам на плоскости.

Законов изображения поверхности эллипсоида на плоскости может быть бесчисленное множество; очевидно, каждый закон изображения определяется видом функции /i и /з в уравнениях (35.1).

При выборе закона изображения эллипсоида на плоскости, т. е. функций Д и /з, приходится иметь в виду, что желательно обеспечить единой системой плоских прямоугольных координат всю территорию государства, так как этим самым будет создана основа для единообразного вычисления результатов последующих геодезических работ и получения топографических планов в единой системе.

Конкретные требования, которые следует поставить при выборе функций /j и /з*. минимальное искажение изображаемых на плоскости элементов поверхности эллипсоида; легкость и простота учета искажений, хотя бы за счет некоторого, конечно сравнительно небольшого, увеличения самого размера этих искажений. Простота и легкость применения проекции и учета искажений - весьма важный показатель достоинства проекции, особенно когда необходимо переходить от числовых значений геодезических координат пунктов к числовым значениям координат на плоскости. Поправки за искажения или за перенос элементов триангуляции с эллипсоида на плоскость и обратно должны вычисляться с ошибками, в 5-10 раз меньшими ошибок непосредственных измерений.

Если координаты опорных геодезических пунктов даны в проекции, то топографические планы не требуют какой-либо укладки на плоскость путем соответствующего их редуцирования. Графические материалы съемок получаются в принятой проекции и лишь числовые данные съемок в виде длин сторон и углов теодолитных и тахеометрических ходов, измеряемых непосредственно на местности, должны быть исправлены за переход к проекции. Но в этом случае целесообразно учитывать только искажения длин с тем, чтобы в пределах определенной зоны масштаб изображений можно было считать постоянным. Это обусловливает выбор равноугольной или конформной проекции, для которой угловые искажения при переходе с эллипсоида на плоскость отсутствуют, а масштаб линейных искажений одинаков по всем направлениям. Этим облегчается учет искажений и редуцирование геодезических данных с эллипсоида на плоскость.

Но системы прямоугольных плоских координат с единым началом, позволяющей отобразить точки всей поверхности эллипсоида на плоскости, практически быть не может, так как искажения становятся слишком большими. Поэтому неизбежно разделение земной поверхности на части или зоны, которые изображаются на плоскости одна независимо от другой, каждая со своим началом координат. Если примем определенные условия в отношении величины и характера искажений, то возникнут определенные требования к размерам и конфигурации этих зон. При выборе проекции следует стремиться к минимальному числу зон на территории данного государства. Кроме того, проекция должна обеспечивать легкость перехода из зоны в зону и возможное единообразие при вычислениях в разных зонах.

Указанным выше требованиям из числа существующих проекций наилучшим образом удовлетворяет конформная проекция Гаусса - Крюгера. Эту проекцию Гаусс предложил в 1825-1830 гг.; в 1912 г. Крюгер разработал детали применения и дал рабочие формулы для вычислений в этой проекции, поэтому ее называют проекцией Гаусса - Крюгера.

И* 163

Координатные зоны

24 30° 36° i,! 4в 54°

§ 36. Основные сведения о конформной проекции Гаусса - Крюгера эллипсоида на плоскости

При использовании проекции Гаусса - Крюгера земной эллипсоид разделяется на зоны меридианами. Каждая зона представляет собой сфероидический двуугольник, построенный от одного полюса до другого и ограниченный меридианами, для всей изображаемой территории имеюш,ими постоянную разность долгот. Средний меридиан в каждой зоне называется осевым меридианом, и его долгота обозначается через Lq.

В СССР протяженность зон по долготе установлена в 6°, а в районах, где предстоят топографические съемки в крупном масштабе, - в 3°.

Граничные меридианы каждой шестиградусной зоны приняты совпадающими с меридианами, ограничивающими западную и восточную рамки карты масштаба 1 : 1 ООО ООО (рис. 71). Следовательно, осевые меридианы каждой зоны совпадают со средними меридианами листов карты этого масштаба. Долготы осевых меридианов вычисляют по формуле 6п - 3, где п - номер зоны. Числовые значения долгот, граничных и осевых меридианов шестиградусных зон для Европейской части СССР приведены ниже.

В системе трехградусных зон осевые меридианы расположены через 3° по долготе и совпадают поочередно с граничными и средними меридианами карты масштаба 1 : 1 ООО ООО.

В каждой зоне изображение осевого меридиана принимается за ось абсцисс, а изображение экватора - за ось ординат. Эти кривые на поверхности эллипсоида изображаются на плоскости прямыми линиями. Следовательно, в каждой