изменения длины геодезической линии s, прямого и обратного азимутов ее j4j 2 и .4 2. 1, вызванные изменением координат конечных точек данной линии, т. е. Bi, Li, Bi L2 на dB dL dB и dL-

Искомые формулы получаются путем алгебраических преобразований полученных выше дифференциальных формул.

Опуская вывод, приведем вывод формул в окончательном виде*:

р ds= - М2 cos Л 2.1 dB - г2 sin Л 2.1 dZ/2 т dAy, 2 = 2 sin А2.1 dBi- cos Лд. i dL

m dA2. i = M2 (--) jSin Л2. j dB2+ cos Л1.2 dL2

(33.35)

Написанные формулы соответствуют случаю, когда изменились координаты второй точки, т. е. В2, L2. Если изменить индексы 1 на 2 , то формулы будут справедливы для случая, когда изменяются координаты первой точки, т. е. Bi, Ly.

При одновременном изменении координат точек 1 и 2 формулы примут вид р ds - - My cos Л1.2 dBy - М2 COS Л 2.1 dB2 - Гз sin Л2. i {dL2 - dLy) mdAy,2 = Mi Ay.2dBy-\-M2smA2, idB2 -

, -r2CosA2.i{dL2 - dLy) (33 36)

/ mdA2.y=M2 ()j smA2.idB2}MySmAy,2dBy-\-

-1- Гу cos Ay, 2 {dL2~dLy)

f де r

- радиус параллели под данной широтой.

§ 34. Дифференциальные формулы второго рода

j , Пусть некоторая триангуляция вычислена на поверхности эллипсоида размеры которого определяются большой полуосью а, и сжатием (или эксцентриситетом ву). Как известно из гл. IV, геодезические координаты пунктов рриангуляции вычисляют путем последовательной передачи разностей коор-нат смежных пунктов. При вычислении разностей координат используют

Основные геодезические величины (1), (2), которые являются функциями боль-Цой полуоси, эксцентриситета эллипсоида и широты. Если возникает задача Иеревычисления триангуляции на поверхность нового эллипсоида, размеры jOToporo определяются большой полуосью и сжатием а2 (или бд), то, очевидно, изменение размеров эллипсоида вызывает изменение разностей коор-Лнат. Отсюда следует, что вывод формул для поправок за изменение параметров эллипсоида должен заключаться в нахождении формул для поправок в разности координат пунктов ходовой линии, по которой вычислялись координаты, рормулы этих поправок легко найдутся путем дифференцирования главных Членов известных выражений для разностей широт, долгот и азимутов.

♦ См. [2, стр. 235, 236].

ISO-

Используя главные члены формул со средними аргументами для разности координат (26.34), (26.35), дифференцируя по переменным а и а (или е), после преобразований и некоторых упрощений, получим:

аЬ = - Ь I- - [2 - 3 sin2 Вт] da] ,

dl = -l iJ sin2 Вт da] .

Для получения dt напишем:

t = I sin Вт

dt -- dl sin B

поэтому

dt = -1 1 + sin2 Вт da] .

(34.1)

(34.2) (34.3)

Полученные формулы дифференциальных поправок второго рода не являются точными. Если длины сторон триангуляции не превышают 40-50 км, то формулы обеспечивают точность поправок порядка 0,001-0,002 .

Но дифференциальные формулы второго рода нужны и при составлении уравнений градусных измерений для вывода размеров эллипсоида и установления исходных геодезических дат, а также при уравнивании триангуляции 1 класса. Однако для этих целей точность выведенных выше формул недостаточна.

Вполне пригодны для этих целей новые дифференциальные формулы Красовского [31]. В них устанавливается зависимость изменений координат от изменений большой полуоси, сжатия и высоты геоида над референц-

эллипсоидом в исходном пункте триангуляции, а также от изменений широты и долготы в том же исходном пункте. Эти формулы - наиболее точные; существовавшие до них формулы Гельмерта могли быть применены для расстояний порядка 600- 800 км, тогда как формулы Красовского пригодны для расстояний до 6000 км и более удобны для использования. Формулы Красовского имеют важное значение для обработки такой большой астрономо-геодезической сети, как сеть СССР. Если возникает необходимость исправления координат пунктов данной триангуляции за изменение координат исходных пунктов, азимута и длины исходной стороны, то применяют дифференциальные формулы только первого рода и поправки нужно вычислять последовательно, так как поправки каждого последующего пункта - функции поправок координат предыдущего. Несколько иначе нужно вычислять поправки при перенесении координат на новый эллипсоид; при этом если даже координаты исходного пункта не изменились, поправки за переход на новый эллипсоид вычисляют по дифференциальным формулам второго и первого рода.

Например, необходимо вычислить поправки за переход на новый эллипсоид в координаты пунктов ряда, изображенного на рис. 70 по ходовой линии АСЕ, причем координаты исходного пункта не изменяются.

Очевидно, для нахождения поправок координат пункта С достаточно вычислить поправки второго рода за изменение разности координат пунктов А я С.

Рис. 70

Но после введения поправок в координаты пункта С для нахождения поправок в координаты пункта Е и всех последующих возникает необходимость вычисления, кроме поправок второго рода, еще поправок первого рода, так как на новом эллипсоиде координаты пункта С изменились.

Таким образом, при перевычислении координат на новый эллипсоид необходимо применять формулы обоих видов. В отличие от дифференциальных формул первого рода поправки второго рода в разности координат пунктов можно вычислить одновременно для многих сторон триангуляции.

В заключение приведем дифференциальные формулы для совместного вычисления поправок за изменение координат и параметров эллипсоида, пригодные для использования вплоть до триангуляции 1 класса*:

dL2 = dLy+l~-\

2 I is А,

dBy+lSdA,,.

- I sin Вт da dB,+ tdAi.

p sin 2Bm t--tsmBda

(34.4)

В приведенных формулах поправки выражены в функции средних аргументов Bfn и Am- Формулы пригодны для вычисления на счетных машинах. Результаты вычислений округляют до 0,001что соответствует точности формул.

* См. [2, стр. 240].

П. с. Закатов