Получим:

Nz sin {Bz-Bj) = m-y 2Ч. 2 ctg L. sin Bx - s h. 2 sin B- -f щ 21.2 -ё- cos 5i -

- Al 21. 2-r-

sin /?i

sinzj 2 sin 2 sin 5 ctg L - cos 5 cosz 2 sin -f

sinisinzi 2 cos yli 2 + - %.2Cos5i-- sin z 2 sin Л1 2 . (32.20)

sin Lo

Внесем преобразования

-sin By cos Zi 2 cos 5i -)- (1 - cos B) sin z 2 cos A 2 = = -cos5i (sin J5i coszi 2-r cosB sinz 2 cos A 2) -bsinz 2 cos Л. 2 =

= -cos ВуПу 2 + sin Zj 2 cos A1.2- (32.21)

из (32.20) и (32.21):

sin(S2-i)=

-f-sinzi 2 cos1 --p- 2Cos5i -

sin Zi 2 sin Л1.2 sin ctg L2 +

sin i?i sin 2 sin 2

зт{В2 - Bi) - sinzi 2 cos 1 3 -sin Л 2sini?i tg -.-j.

sin L2 . L9. , a2 -Ь2

2 1 gCOSi

(32:22)

Где значения coszi 2 и определяются из (32.8), (32.9) и (32.10).

Способ М. С. Молоденского разработан автором и кандидатом технических наук В. Ф. Еремеевым до стадии практического применения. Выше изложены только принципиальные вопросы без подробностей, с тем Чтобы ознакомить читателя с иным, отличным от предыдущих, методическим подходом к решению главной геодезической задачи.

Способ Молоденского приводит к построению пространственной или трехмерной геодезии. Для этой цели вводится третья координата - высота пунктов над эллипсоидом Я; выражения для пространственных координат имеют вид:

,. X = (iV+K)cosi?cosZ; F = (iV+Я) cos 5sin Z; Z = [iV(l -e)-[-Я] sin5.

(32.23)

Приведем без вывода формулы для обратной геодезической задачи (при Любых значениях длин хорд s и высотах Я и Я2).

1.2 = № + i) + (2 + Я2)2 -2{N, + H,) {N2 + Я2) cos t

(iVaSinSa- Ny sini) -

- 2 (iV2sing2 -sin5i) (Я2sinБ2 -Я1 sin 5i)

Ctg 1.2 =

fl2 &2

(iViSini?! -#2 Sing) COSjBi

(Л/2 + Я2) COS в2 sin L2

(32.24) 147

sill (Bo - Bi) , . D . и

cos iJ. i 2

a2 -62

ctg 2. 1 =

{N2 sin B2 - N1 sin Д) cos52 (Л14-Я1) cos Вi sin L2

sin (Z? -2) D 4. Сг - Sin52tg-

cos bl sin L2

Рис. 62

В заключение главы отметим следующее.

При выборе методов и формул для решения геодезических задач необходимо брать такие, которые обеспечивали бы заданную точность вычислений и требовали бы наименьшего вычислительного труда. Рекомендовать единый, наиболее целесообразный метод получения формул и единые формулы для решения геодезической задачи не представляется возможным. Методы и формулы, пригодные для решения задач при сравнительно коротких расстояниях, при больших расстояниях становятся сложными, громоздкими, требующими затраты огромного труда. При решении задачи косвенным методом но мере увеличения расстояний возникает необходимость учитывать все возрастающее число поправочных членов. Поэтому косвенный путь имеющий неоценимые достоинства при сравнительно коротких расстояниях, при более длинных заменяется прямым путем решения задачи. То же самое следует сказать и о прямых методах решения задачи: будучи пригодными для вычислений координат на большие расстояния, при уменьшении расстояний между пунктами эти методы не получают серьезного упрощения и уступают косвенным методам, формулы которых резко упрощаются при малых расстояниях, так как можно пренебрегать некоторыми поправочными членами. Но и в пределах каждого из двух основных путей решения геодезической задачи, в зависимости от требуемой точности вычислений и наличия в распоряжении вычислителя вспомогательных вычислительных средств (таблиц и т. п.), при одних и тех же расстояниях могут быть приняты разные методы и формулы.

Вычисление геодезических координат является одним из основных вопросов, рассматриваемых в сфероидической геодезии; эту задачу не без основания называют главной геодезической задачей. Однако с введением системы прямоугольных координат Гаусса - Крюгера производственное значение вопроса о решении геодезической задачи на эллипсоиде уменьшилось. В настоящее время координаты пунктов триангуляции 2 класса и ниже вычисляют на плоскости с применением соответствующих простых формул. Лишь при обработке триангуляции 1 класса вычисления ведут в системе геодезических координат на поверхности эллипсоида. Однако знание методов решения прямой и обратной геодезических задач необходимо для каждого геодезиста независимо от его специализации и сферы производственной деятельности. Для специалистов, использующих результаты геодезических и топографических работ, система прямоугольных плоских координат может считаться основной; для геодезиста же остается основной система геодезических координат на эллипсоиде. При решении основных научных вопросов высшей геодезии все вычисления выполняются на поверхности эллипсоида с применением геодезических координат.

Рассмотрим различные способы контроля вычисления геодезических координат.

1. Если ряд триангуляции предварительно или окончательно уравнен, т. е. сумма углов каждого треугольника равна 180° + 8, то координаты пункта в каждом треугольнике вычисляют последовательно от координат двух других пунктов, что дает исчерпывающий контроль. Например, известны координаты пунктов А ж В (рис. 62); от этих двух пунктов по расстояниям и азимутам сторон АС ж ВС вычисляют координаты пункта С. Сходимость значений широт и долгот (в пределах точности вычислений), полученных для точки С от А ж от В, будет контролем вычисления этих координат. Для контроля вычисления азимутов образуем сферический угол как разность обратных азимутов направлений СВ и С А; совпадение значения вычисленного таким образом угла с его значением, известным из треугольника, и есть контроль вычисления азимутов. Такой контроль получится при вычислении последующих точек D, Е ж т. ji,.

2. Если необходимо вычислять координаты пунктов ряда, не уравненного аа условия фигур, то указанный выше порядок контроля не может быть применен, так как треугольники не представляют собой замкнутой фигуры. Такой случай может быть при вычислении свободного члена азимутального условного уравнения при уравнивании звена триангуляции 1 класса. В этом случае выбирают вдоль ряда некоторую ходовую линию, по которой вычисляют координаты. Контроль осуществляют при помощи независимых вычислений в две руки. Но бывают случаи, когда два опытнейших вычислителя допускают одну и ту же ошибку, которая таким образом не обнаруживается и сказывается на всех последующих вычислениях. Чтобы это избежать, следует при вычислении в две руки пользоваться различными формулами. При нормальных расстояниях между пунктами целесообразнее вести одни вычисления по формулам со вспомогательной точкой, другие - по формулам со средними аргументами. Необходимые для вычисления средней широты и среднего азимута координаты второй точки берут из результатов вычислений первой руки. Применение двух различных формул исключает возможность сделать одну и ту же ошибку.