Обозначив последние два поправочных члена через и перепишем формулу (30.1)

01.2 = 1. 2+2- (30.2)

Зависимость между s ж о получена в § 16. Очевидно, при решении главной геодезической задачи необходимо, в зависимости от требуемой точности, применять формулу (16.11) или (16.14), причем последняя имеет вид

(l-2r]2cosMi. 2)5=1. (30.3)

П2 tgi COS Ai. 2

Формулы (30.1) и (30.3) пригодны для расстояний, не превышаюш,их 4000-5000 км.

Зависимость между ж В также получена в § 15. Величина е в соответствии с (15.3) - разность широт В2 - В, Но полученное выражение для 8 далеко не всегда может быть использовано при решении геодезической задачи вследствие его приближенности. Дадим точные формулы для перехода от В к Б2 или обратно. Из рис. 58 следует, что

аС ОС~ОГ)-\-ПаВ У

& 2

ВС ВС

или, принимая во внимание (4.8) и (11.1), ;

р. (1 -e2)iVsin2 + i\rig2sini 2--iV2 cos В2

Заменяя N = у,

(1 -е2) sin 5o-l--f sin В

tg£?2 = -

* cos В2

после элементарных преобразований, окончательно получаем точную формулу

tgBi = tgB.(l-. + ell-), (30.4)

Обозначая

.= (l-e+.lil). (30.5)

переписываем (30.4) так:

tg52 = /ctg52. (30.6)

Переходя к установлению зависимости между гх.у и A.xi отмечаем сле-дуюп],ее: ag.i представляет собой на шаре 360° - 2.1, т.е. дополнение до 360° азимута направления с В на А у. На эллипсоиде это будет угол между плоскостью меридиана точки В и плоскостью, проходящей через прямое нормальное сечение из точки А на точку В. Очевидно, можно перейти от а,.! к А.х следующим образом: от угла aa.i к азимуту прямого нормального сечения, из точки i5 на Л путем введения поправки А и от азимута нормального сечения

к азимуту геодезической линии путем введения поправки 62.i* Иначе говоря, используя формулы (17.2) и (17.3)

2. 1 = 2. 1 -А +2. 1,

8. 1 - 02. 1

е202 cos2 Вт sin 2Л. ,

е2сг2 cos2 Bfn sin 2.4i.

4 12

Суммируя поправочные члены, находим

\\\s sin 2 cos Л1. 2

Л 2. 1 = 2. 1 -

Принимая во внимание обозначения (30.2), получаем

2. 1 =02. 1-2ll-

(30.7) (30.8) (30.9)

При решении геодезической задачи на большие расстояния эта формула будет давать значительные погрешности.

Более точной формулой будет (17.7), т. е;

Т1881ПЛ1 2С08Л1 2 Г]Ь sin Л 2 tg -Bl

2. 1 = а2. 1----- +

(30.10) (30.11)

или, используя обозначения (30.2),

2. 1 =012. 1 - 2ii +3t;2-

Приведенными формулами решается вопрос об установлении зависимости между элементами сфероидического и сферического треугольников.

Рассмотрим порядок решения прямой и обратной геодезической задачи по данному способу.

Прямая геодезическая задача

Исходные данные: - широта первой точки, s - длина геодезической линии между первой и второй точками, i 2 ~ азимут. Порядок решения:

1. Переход от азимута геодезической линии А-.г к азимуту прямого нормального сечения aj 2 °o формулам (30.2).

2. Переход от длины геодезической линии между точками к длине дуги нормального сечения по формулам (30.3).

3. Решение сферического треугольника АРхВ по формулам:

90° --а)

2 1 +

90° -Б, 2

И вычисление В, 2.1, I.

ч. 1

(5i + a)

2. 1

(30.12)

4. Переход от к В, т. е. вычисление искомой широты второй точки но формуле (30.6).

5. Вычисление долготы второй точки.

6. Переход от азимута а 2 i на шаре к обратному азимуту геодезической линии Л2.1 на эллипсоиде по формуле (30.7).

Обратная геодезическая задача

Даны в качестве исходных координаты двух точек. Требуется определить расстояние между ними, прямой и обратный азимуты геодезической линии, соединяющей эти точки.

1. Вычисление широты В по формуле (30.6).

2. Решение сферического треугольника по двум сторонам (90° - Б,) и (90° - Во) и но углу между ними {I = - Ь) но формулам:

2. l+Ol. 2

- ai. 2

Ctg-2-

Ctg-2-

sm a =

sinZcosfii sin Z cos 5

sin ai 2

(30.13)

sin J

и вычисление a, 2.1

3. Вычисление прямого и обратного азимутов геодезической линии на основании формул (30.2) и (30.11).

4. Переход от а к s но формуле (16.13), которую перепишем, опустив члены порядка цо ш оставив члены riсг (в данном случае при значительных расстояниях ц следует считать малой величиной того же порядка, что и а).

cos2 Л1. 2 N-

(2)i

Обозначив

sTi cos Л1. 2 tgiSi

(30.14)

si] cos л I. 2

p =P1

s\\ COS /li. 2 Ig 1

P = P2

H имея в виду, что величина - приближенно представляет собой длину дуги

сечения первого вертикала, равную одной секунде в средних широтах 31 м, формулу (30.14) окончательно перепишем так:

{2)з

-31(pi-p2).

(30.15)