Рис. 48

§ 28. Теория Гаусса конформного изображения эллипсоида на шаре. Применение ее к решению главной геодезической задачи

Проф. Ф. Н. Красовский в своем труде Руководство по высшей геодезии говорит: ...теория Гаусса конформного изображения эллипсоида на шаре в свое время составила эпоху в области точных наук . Указывая, что значение этой теории в геодезии в настояш,ее время в значительной степени утратило €ВОЮ ценность, далее проф. Ф. Н. Красовский отмечает: ...возможно, что в будущем в геодезии вновь появится новое использование этой гениальной Гауссовой теории . Есть основания считать эту мысль правильной и в настоящее время.

Знакомство с этой теорией, простой и оригинальной по идее, изящной по математическому изложению и выводам в применении к геодезии, весьма полезно для геодезиста; она прекрасно показывает достоинство использования поверхности шара для проектирования на нее поверхности эллипсоида с малым сжатием. Применение этой теории в геодезии наглядно и доходчиво иллюстрирует один из основных методов решения основных задач сфероидической геодезии.

Учитывая общее значение Гауссовой теории, приводим изложение ее основ и предложенное Гауссом применение теории к решению главной геодезической задачи.

Основные формулы конформного изображения эллипсоида на шаре. Конформным называется такое изображение эллипсоида на шаре, при котором бесконечно малый контур на поверхности эллипсоида изображается подобным ему контуром на шаре.

Возьмем на поверхности эллипсоида бесконечно малую фигуру abcde с центром О (рис. 48). При конформном изображении эта фигура изобразится на шаре подобной ей фигурой abcde с центром О.

В теории картографических проекций доказывается, что при произвольном законе изображения эллипсоида на шаре всегда существуют два взаимно перпендикулярных направления на эллипсоиде, которые на шаре также остаются взаимно перпендикулярными. Эти два направления называются главными направлениями; масштаб изображения по этим направлениям в общем случае будет иметь максимальное и минимальное значения. При конформном изображении масштабы в каждой точке по обоим главным направлениям должны быть равны. Если обозначить масштаб изображения по меридиану через т, а масштаб изображения по параллели - через п, то условие конформности получится

тп. (28.1)

Введем обозначения:

В ж L - широта и долгота некоторой точки на поверхности эллипсоида; и ж (л - широта и долгота изображения точки на поверхности шара.

в общем случае закон изображения эллипсоида на шаре выражается уравнениями:

U = F{B, L) 1

со=-Л(Д L) V -

для которых имеем только одно условие: в пределах изменения В ж L каждым действительным значениям В и L соответствуют действительные значения и я си.

Поставим далее условие, чтобы меридианы на эллипсоиде изображались меридианами на шаре и параллели на эллипсоиде - параллелями на шаре.

Зллипсоид

В этом случае уравнения (28.2) примут вид:

U = h{B)

(28.3)

Вид функций fx и /з определяется исходя из следующих соображений.

Возьмем на поверхности эллипсоида точку А и бесконечно близкую к ней точку В (рис. 49); пусть изображениями этих точек на поверхности шара будут точки Ах и Вх-

Обозначим координаты точки А через В и L, а точки В - через В dB ж L -\-+ dL; соответственно на шаре имеем коорди-и (О для точки Ах-, и -\- dU ж со + dco - для точки В. ВС - элемент параллели точки В; ВСх - изображение этого на шаре.

Определим масштаб изображения по меридиану и параллели для точки А. Будем иметь:

для масштаба по меридиану

АхСх RdU .

наты и Дуга элемента

для масштаба по параллели

ВхСх

М dB

В cos и d(i)

ВС ~~ N cos В dL * R - радиус шара.

Для того, чтобы изображение было конформным, необходимо и достаточно, чтобы т - п. Отсюда

Я dU В cos и d(i)

откуда

М dB

dU cos и

N cos В dL

М dB ddi 1Г cos в ~dL

(28.4)

Но, согласно (28.3), сферическая широта U должла зависеть только от В,

г dd)

а долгота со - только от L; следовательно, -jj- должна быть постоянной величиной. 112

Обозначая 4т- = находим

(o = aL + P, (28.5),

где р - постоянное интеграции.

Если долготы на эллипсоиде и шаре считать от одного меридиана, то для начального меридиана со = L = О, следовательно, и р равно нулю, поэтому уравнение (28.5) примет вид

co = aL. (28.6),

Преобразуем выражение (28.4) для

cos и

dU MdB а(1-е2) i е2 sin2 Б - е2 cos2

cos и ncos в (1-e2sin2£) COS (1-e2sin2 5)C0SjB

cos С/

( 1-e2sin2g e2 cos2 в ,d)

\ (l-e2sin2 5) cos5 (l-6>2sin2 5)cosS /

dC/ f d5 e2cosB

= a .11114+ dB

cos и (cosi? 1 -e2sin2i?

dU dB ed{e sin B)

cos и

- f dB ed (e sin B) \ ~\cosB 1 -e2sin2fi/

dt/ dB e djesinB) e d {e sin B) \

cos и cos 2 1 - e sin 2 i-\-esinBj

Интегрируя последнее уравнение, получаем

где /с - постоянное интеграции, или

. / п , и \ 1, /л , В \ / i - e sin В \~ /оо ч

U + =Х*°(Т + ) (l + .sinij) (28.7),

Формулы (28.6) и (28.7) выражают закон конформного изображения эллипсоида на шаре.

Для использования полученных формул необходимо знать значения постоянных а, к в. В, входящих в формулы (28.6) и (28.7).

Постоянные можно определить различно. Для использования конформного изображения эллипсоида на шаре с целью решения геодезической задачи постоянные целесообразно определять из условий наибольшей простоты переноса элементов эллипсоида на шар и минимальных искажений в пределах той области, в которой располагаются исходный и определяемый пункты. В связи с этим для определения постоянных поставим условия, чтобы масштаб изображения на некоторой широте Bq, называемой нормальной широтой, равнялся единице и изменение масштаба при удалении к северу и югу от параллели с нормальной широтой происходило возможно медленнее.

Выполнение этих условий позволит в пределах некоторой облас i-ii считать масштаб изображения практически постоянным и равным единице. В этом случае, очевидно, будет обеспеч1М!ч малость поправок за переходе эллипсоида на шар и достигнута простота их вычисления и учета.