Поясним это подробнее. Пусть на рис. 47 кривая АВ представляет геодезическую линию между начальной точкой А и конечной В.

Возьмем точку С, расположенную на середине кривой АВ. Если длина геодезической линии А В равна s, то точка С будет находиться от точек А в. В

на одинаковом расстоянии, равном ~. Обозначим координаты точки С через

Bq, Lq и азимут геодезической линии в этой точке через Aq. Применим первую строку рядов (23.4), т. е.

для выражения разностей птирот В - Bq ж В - Bq. Получим

т п\- f dB \ s i / dW \ s2 1fdW\

(26.2) (26.3)

Вычитая (26.2) из (26.3), находим

( -.)=(4f)/+4(),+--- (26-)

Поступая аналогично для {L - Lj) и (А, i - А. 2 ± 180°), находим №.-i.)=(4f) .++()/= + ... (26.5)

(..-..180 ) = (4f) + +(41f),.. (26.6)

где нулевой индекс при производных показывает, что 8(82122.1 они должны вычисляться по Bq ж Aq.

Сравнение выражений (26.4) и (26.1) показывает выгоду использования рядов со средними аргументами: члены с четными производными в рядах (26.4) исчезли, в результате чего они будут иметь лучшую сходимость, а в оставшихся членах с нечетными производными коэффициенты при них уменьшились в несколько раз. Но координаты точки С (Во, 1/0 и Л о), расположенной на середине дуги АВ, т. е. на равных расстояниях отточек Л. и В, не будут равны среднему значению координат этих точек (В,

Найдем зависимость между этими координатами. Складывая (26.2) и (26.3), после деления на два Рис. 47 получаем

.-о=()/ (26.7)

и аналогично

Л.-Ло±180°4(-)

(26.8) (26.9)

Как видно, разности (В - Bq); {L - Lq) и {А - Aq ± 180°) - малые величины второго порядка.

Формулы (26.4) и (26.7) в общем виде решают задачу. Конечная цель - получить формулы для разностей координат и азимутов в функции В и А-Очевидно, это будет достигнуто в результате вычислений и подстановки производных в формулы (26.4) с принятием во внимание (26.7).

Дальнейший ход вывода: а) нахождение исходных дифференциальных уравнений и вычисление производных; б) получение рабочих формул путем подстановки найденных производных в уравнения (26.4) с учетом (26.7).

Исходные дифференциальные уравнения (13.4):

4f = =+<-. (26.10)

= = P---AsecB, (26.11)

Переходим к вычислению производных следующего порядка

dW 3F2 dV . V3 . . dA ,пс ло\

COS А--sm А -т-. (26.13)

ds с ds с ds

Вспомним, что

V = i+ecosB=i + r]\

Тогда

= -- 2е cos 5sm J5,

dV e\osBtgB

dB V

Обозначая t - ig В, последнее выражение примет вид

= (26-14)

Далее

dV dV dB Ti2 F3 .

- ---jT-t-COS л,

ds dB ds V

г)2 Jcos. (26.15)

Подставляя найденные выражения первых производных в (26.13), получаем

dW 3F2 / F2 \ л . . V .

=- - г]2 - COS At) cos А--sm А - sm At

as с \ с / с с

-j§r --W* + cosM}. (26.16)

Переходим к вычислению производной

d4 secBsinA dV , V г, . . dB , V . dA

t sec В sm A ---sec 5 cos A

ds2 cds с ds с ds

dH sec Б sin / o F2 .Л . F , . . F3

(F2 \ F F3

- У] - COS At j +- i sec Б sin лcosA-

-\--sec л cos A - sin Л

= isec В sin Л cos Л (26.17)

и, наконец, находим производную

dA d4

Так как

то и

ds2 ds2

dA = dl sin В,

dA dl . r,

ds ds

dA d4 . -n , dl rj dB Sin В 4---cos 5

и окончательно

ds2 ds2 ds ds

---secBsm Л cos Л sinB--sm secB-cos Л cos В

=Zisin cos (l + 2i2 + r]2). (26.18)

ds2 C2

Приведем без вывода третьи производные:

= - {cos А Sin2 Л (1 - 32 + 9Г]22) .

+ С033Л (зг]2 зг]22 зг)*-15т1*% (26.19)

= sec В {cos2 А sin Л (1 + 3 + ri2) - 2 gin Л }, (26.20)

= {C0S2 Л sin Л (5 + + Г]2 4ri4) Sin3 л ( 1 + 22 Tj2). (26.21)

Переходим к получению выражений для (Вз - В), (Вз - Bj) и (Лд - - Л 1.2 ± 180°) согласно (26.4).

Так как мы ставим цель получить искомые разности координат в функции В и Ащ, а в выражениях (26.4) производные отнесены к аргументам Bq и Л о, то в первую очередь необходимо установить зависимость между указанными производными, т. е. между

f dB \

\ ds ,1Q \ ds / т

/ dB \ / dW \

Предварительно отметим, что разности (Во - В)] и(Ло -Л, ) малы. Рассматриваемые производные - некоторые функции от В и Л и других величин, которые здесь можно рассматривать как постоянные. Таким образом, задача заключается в получении выражения функции при некоторых малых приращениях аргумента; конечно, для этого следует применить ряд Тейлора.

Попутно сделаем замечание: широта B j не соответствует Л в том смысле, что если взять на дуге А В точку с широтой В, , то азимут геодезической линии в ней не будет равен Л4. Поэтому при вычислении приращений в ряде Тейлора