системах. Прежде чем приступать к вычислению искомых величин, т. е. к решению обратной геодезической задачи, необходимо сделать расчет влияния на взаимное положение пунктов, определенных указанными координатами, различия систем координат (разные начала координат, различные размеры и ориентировки эллипсоида); искажений проекций; ошибок графического определения координат по картам; случайных ошибок геодезических связей в каждой системе координат и т. п. Определив таким образом взаимную ошибку координат пунктов, затем установим необходимую точность вычислений искомых расстояний и азимутов.

Приведенные примеры и расчеты не исчерпывают, конечно, всех случаев, имеющихся на практике; они являются только иллюстрацией методического порядка, который должен быть применен при установлении необходимой и достаточной точности вычислений при решении главной геодезической задачи.

3. О точности формул для вычисления геодезических координат

Изложенные выше соображения и выводы о точности вычислений не затрагивали вопроса о точности формул, применяемых для вычисления координат.

В предыдущих рассуждениях как бы предполагалось наличие точных формул для вычислений. Между тем используемые формулы для вычисления координат основаны на разложениях функций в бесконечные ряды. Поэтому все применяемые формулы вычислений в этом смысле являются нестрогими и неточными. Конечно, используя соответствующее число членов ряда, можно получить формулы для вычислений с любой заданной точностью. Поэтому всегда вывод тех или иных формул для вычисления координат необходимо сопровождать исследованиями об их точности при сохранении того или иного числа членов в рядах. Практически приходится, исходя из заданной точности получения формул, устанавливать члены, подлежащие учету при разложении рядов, и вводить их в формулы в виде поправочных членов. Другие члены рядов, но их малости, приходится считать пренебрегаемыми по сравнению с заданной точностью и не вводить их в получаемые формулы. Критерием точности тех или иных формул является степень малой величины, которой пренебрегали при выводе формул. Малые величины, степень которых характеризует величину учтенных или отброшенных членов, должны быть оговорены.

При выводе формул для решения главной геодезической задачи за такую

малую величину обычно принимают отношение При получении формул

для вычисления геодезических координат пунктов триангуляции, т. е. когда

1 11

S = 30 км, отношение - 200 °°У считается, что = ~ зоо

{В2 - Вх) суть величины того же порядка малости, что и . Следовательно,

такие члены формул, как е {В - Б),-[члены второго порядка малости-При выводе формул решения геодезической задачи на значительные рас-

si 1

стояния, например на 200 км, величина - = тгг*, так как е - то величина

а = у уже будет второго порядка малости.

Иногда за малую величину, степень которой характеризует точность формул, принимается е. Так, например, в формулах дуги меридиана их точность характеризуется степенью е в отброшенных членах ряда. Для характе-

ристики точности формул следует принимать за основу не порядок малости сохраненных членов ряда, а порядок малости отброшенных членов.

Чтобы обеспечить необходимую точность вычислений, необходимо з фор-!Мулах сохранять члены, дающие основание считать их практически точными. Для этого необходимо, чтобы формула по точности имела по крайней мере десятикратный запас прочности .

Исходя из указанных соображений, приведем расчеты по обоснованию требуемой точности формул для вычисления координат пунктов триангуляции 1 класса. Положим 5 = 30 км или (в дуговой мере) 1000 . Поставим условие, чтобы порядок ошибок формул был в десять раз меньше реальной точности вычислений координат (0,0003 ), тогда отбрасываемые при выводе формул члены должны быть меньше 0,00003 или в относительной форме вызываемая

этим ошибка qqq = зЮ . При таком значении = 2U0* Подсчитав,

получаем:

() = ~10-; Ш = 6.10-.

Отсюда делаем вывод, что если длины сторон триангуляции меньше 30 км, то необходимо в формулах сохранять члены третьего порядка малости и можно пренебрегать членами четвертого порядка.

В СССР длины сторон триангуляции 1 класса нередко достигают 40- 50 км, а в отдельных случаях и 60 км. Произведя аналогичный расчет, приходим к выводу, что в этом случае ограничиваться только членами третьего порядка недостаточно. Поэтому при вычислении геодезических координат пунктов триангуляции 1 класса обычно применяют формулы с удержанием членов четвертого порядка малости.

Следует ясно представить себе, что должно быть полное соответствие между точностью вычислений, используемым числом десятичных знаков и точностью применяемых формул.

При применении методов прямого пути решения главной геодезической задачи, как уже указывалось, точность формул характеризуется точностью рабочих формул связи элементов эллипсоидального и соответствующего ему сферического треугольника.

Мы видим, что способы решения геодезической задачи достаточно разнообразны. И это не случайно. В практике возникает необходимость вычислений координат на разные расстояния и с различной точностью.

§ 25. Формулы для решения прямой геодезической задачи по способу вспомогательной точки, вывод формул по Красовскому

Пусть даны координаты точки А\ широта и долгота Lj, азимут Ач геодезической линии о, А на 5 и расстояние s между точками А ж В\ требуется определить координаты Вж Ьж обратный азимут 2 i с точки В на точку А (см. рис. 42).

Настоящий способ решения прямой геодезической задачи основан на применении косвенного пути решения задачи; как уже указывалось, он заключается в том, что непосредственно определяются не координаты точки В, а разности координат точек АжВ, после чего легко находятся и искомые координаты Второй точки.

Общий путь решения задачи путем введения вспомогательной точки, через которую осуществляется вычисление координат, указан выше.

Построим вспомогательную точку С на меридиане АР таким образом, чтобы геодезическая линия, проходящая через точки В и С, имела в С азимут, равный 90°. Тогда при переходе от А к С члены в формулах со множителем sin АС обратятся в нуль и будем иметь:

Вс = Вх\-]г-\- . . . ,

Lc = Li,

ЛcA = -ЛAC+180

Иначе говоря, в формуле для вычисления широты выпадают третий, пятый и т. д. члены разложения, долгота точки С равна долготе точки А, а обратный азимут получается добавлением к прямому 180°.

При вычислении разностей координат точек Б и С, т. е. при переходе

от вспомогательной точки С к искомой В, азимут Aqb будет равен поэтому

в формулах члены с cos Асв и sin 2Асв будут равны нулю. Тогда в формуле для широты выпадает первый член разложения, а для долгот и азимутов - второй, четвертый и т. д.

При выводе формул будем исходить из того, что длина стороны меньше 30 км и требуется обеспечить точность вычисления координат до 0,0001*.

1. Решение треугольника ABC по теореме Лежандра. Так как стороны треугольника ABC малые, то его можно рассматривать как сферический и решать по теореме Лежандра.

Сферический избыток треугольника находится по формуле - - sin Л1.? со Л].9

Решая треугольник ABC но теореме Лежандра, получаем: АС

(25.1)

ВС==

SCOS (ai,2 -у

=-1-= cos (Л,.2-3-е)

cosy

Sin(i.2~8)

- - ssm f Л1 2 -)

COS J

(25.2),