формулы, определяющие искомые разности координат и пригодные для решения задачи при любых расстояниях между пунктами.

На этот метод обратил внимание М. С. Молоденский. Заметим, что формулы Молоденского позволяют вести вычисления координат точек физической поверхности Земли. Формулы для вычисления координат точек поверхности эллипсоида получаются из формул Молоденского как частный случай при Я = 0.

§ 24. О точности вычисления геодезических координат широт, долгот, азимутов

1. Общие соображения

При вычислении геодезических координат должно выполняться условие необходимой и достаточной точности вычислений. Для этого следует:

а) обеспечить уверенное получение в конечных результатах вычислений тех долей принятых единиц, которые соответствовали бы исходным данным и установленным требованиям;

б) производить вьшислеяия с удержанием необходимого и достаточного числа десятичных знаков (натуральных или логарифмических); при недостаточном числе знаков не выполняются требования к точности вычислений, а при избыточном числе излишне затрачиваются силы и средства;

, в) применять для вычислений координат методы и формулы, наиболее соответствующие условиям поставленной задачи.

Особо приходится считаться с тем, что для вычислений геодезических координат применяются формулы в виде рядов, поэтому необходимо при использовании тех или иных формул правильно ограничивать число членов этих рядов.

2. О точности вычисления окончательных значений координат

Методическая основа расчета необходимой точности вычисления окончательных значений геодезических координат остается такой же, как в других геодезических вычислениях. Она состоит в выполнении условия, чтобы суммарные ошибки различных этапов вычислений искомых величин были в 5- 10 раз меньше влияния ошибок исходных данных. Это требование понятно - точность координат пунктов должна определяться только ошибками используемых исходных данных для вычислений, но отнюдь не должна зависеть от недостаточной строгости вычислительных действий. Это условие должно соблюдаться и при решении обратной геодезической задачи.

Рассмотрим некоторые типичные случаи. Установим требуемую точность вычислений геодезических координат пунктов государственной опорной геодезической сети. Точность вычисления окончательных значений геодезических координат должна соответствовать в указанном выше смысле точности полевых измерений. Ставя условие, чтобы ошибки вычислений были в 5-10 раз меньше влияния ошибок полевых измерений, мы можем считать, что ошибки в координатах будут зависеть только от ошибок полевых измерений.

Поскольку вычисление координат пунктов геодезической сети распадается на последовательное раздельное решение задач между каждыми двумя смежными пунктами сети, то достаточно рассмотреть вопрос о точности вычислений на примере решения отдельно взятой задачи. В качестве типичного случая рассмотрим равносторонний треугольник триангуляции.

Положение третьей вершины такого треугольника относительно двух других его вершин определится с линейной ошибкой т, которую для наших целей достаточно вычислить по формуле

р sin 60

где s - длина стороны треугольника,

- средняя квадратическая ошибка измеренного угла, р - 206 265.

Обозначая составляющие этой ошибки по осям координат через и т, можем написать

т

= т=

Рассчитаем числовые значения этих ошибок, приняв точность триангуляции:

1 класса s = 20-25 км !i=±0,6 m=my±Q см,

2 класса 5 = 7 - 20 !i=±l,0 Wjp = г* ± 6 ,

3 класса s = 5 - S М±1,5 т = гпу ±Q .

Конечно, пункты триангуляции 2 и 3 классов определяются в системе плоских прямоугольных координат. Однако приведенный выше расчет позволяет сделать общий вывод, что порядок влияния ошибок полевых измерений на взаимное положение пунктов триангуляции одинаков для всех классов, поэтому координаты пунктов государственной триангуляции всех классов должны вычисляться с одной и той же точностью, т. е. с сохранением одинакового числа знаков.

Итак, принимая ошибку во взаимном положении смежных пунктов триангуляции по осям координат в 6 см, мы должны потребовать, чтобы ошибки вычисления разности широт, долгот исходного и определяемого пунктов находились в пределах 0,6-1,0 см.

Имея в виду, что тв - р гп= ~ р sec В, или, иначе, что длина

дуги в 1 большого круга земного шара равна приблизительно 30 м, получаем для juj = m = 1 см

?пв= 0,0003,

или для широты в = 56

пгЬ = 0,0003 sec В, ml = 0,0005 .

Как увидим далее, разность координат двух смежных пунктов получается как сумма двух-трех слагаемых. Поэтому приходим к выводу, что вычисление широт и долгот пунктов триангуляции следует вести с надежным удержанием десятитысячных долей секунды; в этом случае вычисление геодезических координат определяемого пункта относительно исходного будет определяться с ошибкой порядка 0,0002-0,0003 по широте и 0,0002 sec В - 0,0003 sec В по долготе, что близко к крайнему пределу точности вычисления, т. е. к 1 см.

Остановимся на точности вычисления азимутов при вычислении координат пунктов триангуляции. При уравнивании триангуляции 1 класса поправки направлений вычисляют до тысячных долей секунды и окончательные резуль-

таты при составлении каталогов округляют до сотой доли секунды. Иначе говоря, при округлении значений уравненных направлений допускается ошибка до 0,005 . С этой точностью уравненные значения углов треугольников должны соответствовать разности азимутов направлений, образующих данный угол. Так как разность прямого и обратного азимутов вычисляется почти всегда как сумма трех слагаемых, то при вычислении азимутов в триангуляции 1 класса необходимо сохранять тысячные доли секунды.

Смещение одного конца линии длиной в 25 км на 0,0003 дуги нормального сечения или в линейной мере 1 см соответствует изменению ее азимута на величину порядка 0,07 . Поэтому при вычислении азимутов направлений по координатам конечных точек линии (обратная геодезическая задача), при указанной точности вычислений, полного совпадения вычисленного азимута с его значением, которое использовалось при вычислении прямой геодезической задачи по данной стороне, может и не быть. Здесь возможны расхождения до 0,02- 0,03 (если координаты взяты с указанной точностью).

Таким образом, полного соответствия между точностью вычисления координат пунктов (широт и долгот) и азимутов направлений нет; это понятно, так как установленная выше точность вычисления азимутов определена исходя из иного условия.

Накопление ошибок вычислений координат вдоль триангуляционного ряда будет значительно слабее, чем накопление ошибок в передаче координат, вызванных ошибками измерений углов. В этом нетрудно убедиться, сравнивая ааконы накопления указанных ошибок. Как известно, продольный или поперечный сдвиг ряда, обусловленный ошибками углов триангуляции, возрастает пропорционально п /, где п - число передач в ряде. Накопление ошибок вычислений как случайных величин происходит пропорционально Таким юбразом, высокие требования к точности вычисления координат, установленные выше, должны обеспечить практическое исключение ошибок вычислений во взаимном положении смежных пунктов, как основы для развития сетей триангуляции низших классов.

Рассмотрим пример. Триангуляционный ряд протяженностью 400 км состоит из звеньев триангуляции со сторонами треугольников 25 км. Сторон, участвующих в передаче координат, будет 16. Полагая продольный 1Н поперечный сдвиг звена триангуляции 1 класса ±0,7 м, получаем, что конечный пункт ряда относительно начального определится по осям координат с ошибкой ±0,7 ]/2 = ±1 м, или, в единицах дуги нормального сечения, ±0,03 . Накопление же ошибок вычислений координат будет ±0,0003 ]/16 = = 0,0012, т. е. в 25 раз меньше.

Пусть требуется решить обратную геодезическую задачу между конечными пунктами указанного ряда. Длина геодезической линии в таком ряде определится с ошибкой 1 : 400 ООО, что составляет 10 единиц 7-го знака логарифма, а азимут этой линии - с ошибкой около 0,5 . Отсюда можно сделать вывод, что достаточно вычислить логарифм длины геодезической линии с удержанием диницы 7-го знака, а азимута - до 0,01 . Необходимо при установлении точности вычислений учитывать значения погрешностей в исходных данных. Возьмем такой случай.

Требуется вычислить длину геодезической линии между двумя пунктами н азимут с одного пункта на другой; координаты пунктов определены по картам. Но оба пункта расположены в районах, где в качестве геодезической основы Картографирования использованы геодезические сети, построенные в разных