После перехода от эллипсоидального треугольника к сферическому определяют все элементы последнего, затем, пользуясь теми же законами связи сфероидического и сферического треугольников, осуществляют обратный переход на сфероид, т. е. определяют элементы сфероидического треугольника, являющиеся искомыми, в прямой геодезической задаче: пшрота второго пункта, разность долгот обоих пунктов и обратный азимут.

Во всех способах прямого пути решения главной геодезической задачи сферическая поверхность используется как промежуточная инстанция; она может быть использована и при выводе формул, и в процессе практических вычислений. Решение треугольника на сфере производят по замкнутым формулам; переход же от элементов сфероидического треугольника к сферическому и обратно - по разомкнутым формулам.

Остановимся в общих чертах на принципиальной стороне рассматриваемой задачи.

В § 13 получены дифференциальные уравнения

dB F3 .

-3- =-COS А

ds с

dl V л

- = - sec В sm А

ds с

dA V . JJ . .

-- - tg В sm А

ds с

(23.Г

После интегрирования уравнений (23.1) вдоль отрезка s между точками 1 ш 2 получим

COS л ds

L2 = -f sec В sin А ds о

Лзд Л, 2 ± 180°-f Jtg В sin Л

(23.2)

Формулы (23.2) дают в общем виде решение прямой геодезической задачи. Однако в общем виде уравнения (23.2) проинтегрировать нельзя, так как подынтегральная функция зависит от аргументов А ж В, выразить которые в функции переменной интегрирования s в замкнутом виде не представляется возможным; сложность задачи увеличивается также и вследствие того, что функции У и с зависят и от эксцентриситета е.

Поэтому неизбежным становится использование рядов или применение описанного выше приема с переносом элементов сфероидического треугольника на сферу, решением задачи на ней и обратным переходом на поверхность эллипсоида. Заметим попутно, что при переходе на сферу стороны сфероидических треугольников должны изображаться дугами больших кругов; в этом случае решение задачи на сфере производится по элементарным формулам сферической тригонометрии.

Возвращаясь к использованию рядов для решения геодезической задачи, отметим следующее. При интегрировании уравнений (23.2) возможно разложение в ряды по возрастающим степеням s или e. При сравнительно малых рас-

стояниях по сравнению с радиусом Земли (25-50 км, но не свыше 400 км) выгоднее использовать ряды по степеням s; в этом случае будет иметь место хорошая сходимость членов рядов. При больших расстояниях, вследствие слабой сходимости рядов, разложение по возрастаюш,им степеням s практически непригодно. При > 1 ряды расходятся. В этом случае при интегрировании уравнений (23.2) используется разложение по степеням е.

При решении геодезической задачи на сравнительно малые расстояния целесообразно применять косвенный путь решения задачи и использовать ряды по возрастаюш;им степеням s.

Пусть даны координаты начальной точки А {В, Lj) и азимут А элемента геодезической линии ds, тогда искомые координаты конечной точки гео-

дезической линии и азимут ее, т. довательно,

е. В La, А

2. 1

причем

2 = /l(s)

l=/l(0) 1.2=/з(0)

будут функцией от s. Сле-

(23.3)

(23.4)

Применив строку Маклорена и принимая во внимание (23.1) и (23.2), будем иметь:

-.=(f-).+()f+()4+---

dL \ s3

(23.5)

Первые производные выражаются уравнениями (23.1), которые перепишем так:

dB ds

=-COS А =

cos А

dl ds dA ds

= - sec В sin A = с

M sin A

= - tg 5 sin Л =

NCOS В sin A tgB

(23.6)

Вторые производные получатся путем дифференцирования выражений (23.6). При этом не будем принимать во внимание сфероидичность Земли, т. е. примем радиусы кривизны N vl М постоянными, что допустимо при s 30 км. Будем иметь

d-B sinA . r>

ds-2

tgB sec В sin2

ds2 MN

d-A sin Л cos A (1-2 tg2 Д) ds2 ~ MN

(23.7)

Из выражений (23.5) легко усматривается, что чем меньше s, тем лучшую сходимость имеют ряды, и, следовательно, можно ограничиться меньшим числом членов при сохранении одного и того же значения остатка, т. е. с сохранением одинаковой точности вычислений.

Полученные формулы непригодны по точности для сторон триангуляции 1 класса, которые могут превосходить указанное предельное значение s - = 30 км. Необходимо, в зависимости от длин сторон, учитывать третий и последующие члены, принимать во внимание непостоянство М и iV и зависимость их значений от широты; естественно, учет отмеченных обстоятельств приводит при использовании рядов (23.5) к сравнительно громоздким и сложным для практических вычислений формулам.

Существуют способы и приемы использования рядов по возрастающим степенями, которые упрощают формулы, а следовательно, и вычисления, обеспечивая достаточную точность решения геодезической задачи для предельных сторон треугольников 1 класса и даже более.

Рассмотрим далее три способа.

1. Формулы, основанные на использовании средней широты и среднего азимута стороны, по которой решается геодезическая задача. Вычисление производных при среднем значении аргументов позволяет улучшить сходимость членов ряда вследствие исключения членов ряда с четными степенями.

2. Формулы для решения задачи по так называемому способу вспомогательной точки. Сущность способа заключается в том, что искомая разность координат определяемой и данной точек вычисляется не непосредственно, а через целесообразно выбранную вспомогательную точку, в результате чего отдельные члены разложения становятся малыми, а погрешности их пренебре-гаемыми.

3. Метод решения задачи, основанный на использовании вспомогательной сферы.

В этом способе треугольник АРВ (см. рис. 43) изображается на сфере по определенному закону и по известным данным геодезической задачи.

После решения полученного сферического треугольника осуществляется обратный переход со сферы на сфероид, но, в отличие от прямого пути решения задачи, треугольник на сфере решается по особым формулам, позволяющим находить разности элементов этого треугольника (а не сами элементы, как при прямом пути решения задачи). Переход со сферы на сфероид осуществляется также путем переноса разностей его элементов, являющихся искомыми разностями широт, долгот и азимутов. В этом состоит принципиальное отличие этого метода косвенного пути решения задачи от прямого. Легко понять, что чем меньше разности координат между вычисляемыми пунктами, тем меньше редукции для перевода этих разностей с эллипсоида на сферу и обратно и тем большие могут быть допущены упрощения соответствующих формул. На основании этих общих соображений приходим к выводу, что указанный метод решения главной геодезической задачи целесообразно применять при сравнительно незначительных расстояниях между пунктами.

Конечно, законов изображения сфероидического треугольника на сфере может быть предложено множество.

В рассмотренном далее способе использована теория Гауссова конформного изображения эллипсоида на шаре.

Несколько отличается метод решения главной геодезической задачи, основанный на замене сфероидических треугольников соответствующими плоскими, образованными из хорд эллипсоида, в результате чего получаются замкнутые