Глава IV

ВЫЧИСЛЕНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ШИРОТ, ДОЛГОТ И АЗИМУТОВ

§ 22. Общие сведения

Конечная цель основных геодезических работ - определение координат геодезических пунктов. Так как в геодезических вычислениях фигура Земли принимается за эллипсоид вращения, то, следовательно, задача сводится к вычислению координат отдельных точек поверхности эллипсоида вращения. Положение геодезических пунктов может быть определено в различных системах координат; каждой системе координат соответствуют

свои методы и формулы вычислений.

В этой главе рассмотрены методы вычисления геодезических координат, т. е. геодезических широт, долгот и азимутов.

Характерная особенность геодезических измерений заключается в том, что они доставляют данные, определяющие относительное взаимное положение геодезических пунктов. Так, в результате развития сетей триангуляции, проложения ходов точной полигонометрии (независимо от примененных методов измерений) получаются расстояния между геодезическими пунктами, углы фигур, образованных этими пунктами, но из одних только геодезических измерений не может быть определено положение геодезических пунктов на земном эллипсоиде в виде их координат в какой-либо системе. Для вычисления геодезических координат какой-либо системы пунктов должны быть заданы или определены необходимые исходные данные, устанавливающие положение этой системы пунктов на эллипсоиде и ее ориентировку относительно параметрических линий меридианов и параллелей.

В качестве исходных данных, необходимых для вычисления геодезических координат пунктов, должно быть задано положение на поверхности эллипсоида двух каких-либо пунктов данной сети. Положение этих двух пунктов может быть задано: а) геодезическими координатами одного пункта, расстоянием и азимутом на второй пункт или б) геодезичоскими координатами обоих пунктов.

В первом случае даны геодезические координаты ВжЬ для пункта А (рис. 42), азимут А 2 геодезической линии АВ и расстояние s 2 между пунктами А ж В; требуется определить широту Вж долготу точки В ж обратный азимут Л2.1 с точки В на точку А.

Такая задача называется прямой геодезической задачей.

Вычисление координат пунктов триангуляционного ряда (сети или поли-гонометрического хода) заключается в последовательном решении прямой геодезической задачи по некоторой ходовой линии геодезического ряда; npF каждом решении такой задачи по данной стороне искомые координаты и азимуты предыдущей задачи становятся исходными для решения задачи по данной стороне.

Во втором случае, когда по данным геодезическим координатам пунктов А а В вычисляют расстояние между этими пунктами, прямой и обратный азимуты

Рис. 42

линии Л-в. Такая задача называется об р атной ге о дез ическо й з а-дачей. Так, например, после уравнивания отдельных звеньев триангуляции 1 класса для полигонального уравнивания необходимо вычислять длины, прямой и обратный азимут геодезической линии, соединяющей конечные точки звена. В этом случае репгается обратная геодезическая задача.

Прямую и обратную геодезические задачи называют главными геодезическими задачами.

Приведенное вьппе описание главных геодезических задач дано применительно к случаю вычисления геодезических координат пунктов государственной геодезической сети.

Этот случай характерен тем, что вычисление геодезических координат приходится вести на расстояния, не превышающие, как правило, 30-40 км, а требуемая точность вычисления координат достаточно высока. Иногда возникает необходимость вычисления прямой и обратной геодезических задач при расстояниях между пунктами в несколько сот, а в ряде случаев и в несколько тысяч километров. Необходимость решения таких задач возникает в различных целях. Например, при передаче координат на другие континенты при изучении их движения. Разнообразие в расстояниях, по которым возникает необходимость решения главных геодезических задач, различные требования к точности не позволяют рекомендовать какой-либо единый метод и единые формулы. Поэтому, в зависимости от указанных условий, целесообразно применять различные методы и формулы решения задач.

Условно расстояния можно подразделить на четыре группы:

1. Малые расстояния - до 30-45 км.

2. Средние расстояния - до 600 км.

3. Большие расстояния - до 5000 км.

4. Очень большие расстояния - до 19 ООО км.

К первой группе расстояний относятся длины сторон триангуляции 1 класса.

Геодезические сети 2 класса и ниже в СССР обычно вычисляют на плоскости в принятой проекции Гаусса - Крюгера; в этом случае вычисляют прямоугольные плоские координаты. Когда речь идет о расчетах в пределах небольших расстояний и площадей, то, конечно, наиболее целесообразно использовать геодезические данные в прямоугольной системе координат. Но когда геодезические вычисления должны быть выполнены между точками земной поверхности, расположенными на значительных расстояниях, то здесь в полной мере проявляются преимущества и достоинства системы геодезических координат, как единой для всей Земли и отнесенной непосредственно к ее поверхности.

Вот почему обязательно для инженера-геодезиста знать пути и методы решения прямой и обратной задач в системе геодезических координат при разных расстояниях, если он хочет быть подготовленным для ответа на определенный круг вопросов теории высшей геодезии и ее практического применения.

§ 23. Общие соображения о решении прямой и обратной геодезических задач

Существует два основных пути решения прямой и обратной геодезических задач, называемых прямым, или непосредственным путем решения геодезической задачи и косвенным путем решения задачи.

Прямой, или непосредственный путь решения главной геодезической задачи заключается в решении сфероидического треугольника АРВ (рис. 43).

в этом случае известны две стороны - АР = 90° - Б, АВ = s и угол между ними 1 2- Из решения треугольника непосредственно определяются три остальных элемента, являюш,иеся искомыми, - BP = 90° - В, т. е. широта Вз, (360° -il2.i)> т. е. обратный азимут Л 2. и и Z - разность долгот пунктов Л и В, по которой легко находится долгота == Li + При решении обратной геодезической задачи известны следуюш,ие три элемента: By, В и I. Из решения треугольника находят углы РАВ == А- РВА = 360° - з. i и сторону ЛВ = S, т. е. расстояние между заданными пунктами.

Таким образом, для прямого пути решения главной геодезической задачи характерно непосредственное определение элементов треугольника АВР, явля-юш;ихся искомыми величинами.

Косвенный путь решения главной геодезической задачи заключается в выводе разностей широт, долгот и азимутов данного и определяемого пунктов.

Следовательно, для косвенного пути решения задачи характерен вывод разностей искомых и данных величин, т. е. {В2 - В), {Ь - L) ж (Л 2 1 - .Aj 2 ±180°), после чего определяемые геодезические координаты получаются из выражений:

В - ВуЛ- {В - By),

-42.Х=1.2±180Ч-(Ла.1-Л1,2).

Формулы для решения обратной геодезической задачи обычно получаются из формул для решения прямой задачи путем соответствующих математических преобразований, поэтому в последующих параграфах внимание будет сосредоточено на рассмотрении различных методов решения прямой геодезической задачи. Для решения же обратной задачи будут даны с соответствующим обоснованием только наиболее употребительные формулы.

Возвращаясь к прямому пути решения главной геодезической задачи, необходимо указать, что решение треугольника АРВ, как треугольника сфероидического, не может быть выполнено в элементарных функциях в замкнутой форме. Это, конечно, понятно: стороны упомянутого треугольника, как геодезические линии на l, поверхности эллипсоида, выражаются эллиптическими интегралами, не поддающимися интегрированию в эле- Рис. 43

ментарных функциях. Поэтому при решении главной геодезической задачи с применением прямого

пути поступают следующим образом: от сфероидического треугольника АРВ переходят к треугольнику некоторой вспомогательной сферы и устанавливают одновременно аналитическую или геометрическую связь между элементами обоих треугольников. Этот методический прием решения задачи прямым путем, конечно, может считаться достаточно целесообразным и обоснованным для соответствующих случаев, если учесть, что земной эллипсоид имеет сравнительно малое сжатие а Лк, вследствие чего при удачном выборе способа

перехода на сферу различие в элементах обоих треугольников при не очень больших расстояниях будет незначительно и легко учитываемо.