члена

Вывод этих формул см. в работе [31].

При сторонах треугольника длиной около 200 км максимальное значение {т-- а2) будет меньше 0,001 ; в равносторонних треугольниках

значение этого члена будет равно нулю. Таким образом, при решении треугольников, стороны которых не превышают 200 км, этим членом можно пренебречь.

Лишь при длинах сторон треугольников свыше 200 км следует учитывать второй член формул (20.11). Но в этом случае нельзя считать треугольники сферическими, а необходимо учитывать их сфероидичность, т. е. вводить поправочные члены, выражаюш,ие различие между углами сфероидического и сферического треугольников, имеюш;их соответственно равные стороны.

Формулы для вычислений этих сфероидических поправок, которые мы приводим без вывода, для углов А, В, С сфероидического треугольника имеют вид:

(20.12)

/г, тгд и Uq - Гауссова кривизна вершин треугольника abc,

Числовое значение поправок

при сторонах треугольников около

12 3

200 км менее 0,001 , поэтому при вычислении триангуляции эти поправки в углы треугольников не вводятся. Треугольники триангуляции рассматриваются как сферические с радиусом, равным среднему радиусу кривизны той части эллипсоида, на которой расположена триангуляция.

В особых случаях может, однако, возникнуть необходимость учета поправок за сфероидичность треугольников. Если А, В, С - углы сфероидического треугольника, а Л i, Bj, - углы плоского треугольника, имеюш,его стороны, соответственно равные сторонам сфероидического треугольника ЛВС, то переход к плоским приведенным углам совершается по формулам:

3 60 X. е г п

Пг, -П

(20.13)

Таким образом, если возникает необходимость учитывать второй поправочный член теоремы Лежандра, то надо рассматривать треугольники как сферо-

идические. Суммарное значение обеих поправок меньше 0,001если стороны треугольника не превосходят 200 км.

Более точная формула для сферического избытка треугольников имеет вид

e = i£p-(l+). (20.14)

При уравнивании триангуляции 1 класса углы треугольников вычисляют, удерживая тысячные доли секунды. Отсюда следует, что ошибка в определении сферического избытка не должна превосходить величины порядка 0,0005 .

Рассмотрим, при каких размерах сторон треугольников можно при вычислениях пренебрегать вторым членом в формуле для г . Если взять равносторонний треугольник со сторонами 90 км, то числовое значение поправочного члена

i§Ldi. = е будет 0,0005 . Следовательно, при вычислении

ZH ол оН

сферического избытка следует учитывать поправочный член 8 в том случае, если стороны треугольников больше 90 км. Поскольку стороны треугольника триангуляции 1 класса обычно не превосходят 90 км, то вычисления сферического избытка практически почти всегда следует вести без учета второго члена, т. е.

= -iP - (20.15)

В последней формуле Ai - приведенный плоский угол.

Рассмотрим, в каких случаях можно пренебрегать при вычислении сферического избытка различием между углами А ш А. Погрешность в в вследствие ошибки в А выразится формулой

Де = -1 р АЛ - 8 ctg А АА.

Очевидно, АА = поэтому

Ставя по-прежнему условие Ае << 0,0005 и полагая, что ctg А = 1, находим

е 2Де .Зр = 300,

Следовательно, при величине сферического избытка меньше 17 , что соответствует при равносторонней форме треугольников длинам сторон около 90 км, различием между А иАв формуле (20.15) можно пренебрегать и сферический избыток вычислить по формуле

ЬстА е - 2R2 Р

Если стороны треугольников близки или больше 90 км, то е следует вычислять двумя приближениями: сначала получить приближенное значение сферического избытка и по нему вычислить приближенное значение приведенного плоского угла

с этим приближенным значением угла А[ сферический избыток вычисляется по формуле

Ъс sin А . 3 у е - 2/?2 Р 8R)

При логарифмическом вычислении сферического избытка вели-

чину Ig = Ig / выбирают из специальной таблички (см. Таблицы для

вычисления геодезических координат . М., Геодезиздат, 1953). С этим обозначением формула для вычисления сферического избытка примет вид

8 =/6с sin Л.

При решении треугольников триангуляции 2 класса и ниже необходимость учета поправочных членов как в теореме Лежандра, так и при вычислении 8 отпадает.

Для общей ориентировки приводим числовые значения сферических избытков при различных длинах сторон (для равносторонних треугольников):

Сферический избыток треугольников вычисляют при помощи четырехзначных или пятизначных таблиц логарифмов, обычно одновременно с предварительным решением треугольников.

В табл. 5 приведен пример решения малого сферического треугольника по теореме Лежандра.

Таблица 5

Б = 48°12

Этот пример, как и последующие три примера на решение сферических треугольников, взяты с некоторыми сокращениями и изменениями из [10].

Нетрудно установить порядок применения теоремы Лежандра к решению сферических треуго.т1ьников по трем его сторонам. Очевидно, в этом случае