откуда

cos Л =

а be

cos - - cos - cos -

. b ; ~c

sin - sm -

(20.1)

Пренебрегая пятыми степенями малых величин формулу (20.1) переписываем в виде

cos А

Ь2 64

24Л4

24Д4

/ Ь N \

Рис. 39

С принятой точностью имеем

-о2 , а4 , Ь2

COS Л =--

24Я4

24Д4

2/?2

24Д4

62с2 4i?4

6с / 62 1 с2

Л2 V 6Л2

62с2 а2 , а4 64 -с4 -6б2с2

24/?26с

COS л

62 .с2 -о2 а4 64 с4 662с2 Ь2--с2 t bi\ С-- а

Ь2 С2 /

2Ьс 24/?26с 6Л2 V 2Ьс

После перемножения и приведения подобных членов получим

COS Л- i 2ARWc

Для плоского треугольника АВС имеем

2 ~ 52 2 26с COS А т,

откуда

62 + с2 а2

д4 64 - с4 + 2д262 4 2а2с2 -- 2Ь2с2 462с2

(20.2)

(20.3)

(20.4)

Принимая во внимание выражения (20.3) и (20.4), переписываем формулу (20.2)

cos Л = COS Л1--,

COS А - COS Л1 ==--6/?2~

2 sm --- sm

be sin- Ax

2 2 6/?2

Разность Л-1 - малая величина, поэтому можно положить:

(20.5)

. А -Ах sm -

На основании (20.5) получаем

А -Ах

. ААл . л sm - = sill 1

Ьс sin Лх

Площадь Р треугольника АВхСх может быть выражена формулой

Ьс sin Ах

поэтому

(20.6)

(20.7) (20.8)

Аналогично предыдущему

В-ВхГ==-9 ; {С-Сх) ==-р .

Складывая почленно три последних уравнения и принимая во внимание, что Ах Вх + Сх = 180°, получаем

(Л + Б + -Ш + р .

Так как сумма углов сферического треугольника (Л + В + С) равна 180° + 8, где 8 - сферический избыток треугольника, то

Искомые значения углов плоского треугольника в окончательном виде выразятся простыми формулами:

(20.9)

где или

8 =

Ь2 sin Лх sinCi р sinii 2Л2

(20.10)

Обозначая

£ -

выражение для сферического избытка г напишется

(го.ку)

Значение / берется из таблиц по аргументу широты (табл. 4); при вычислении сферического избытка е с использованием указанных таблиц значений / длины сторон треугольников выражаются в десятых долях километра.

Таблица 4

Формулы (20.9) и выражают теорему Лежандра для малых сферических треугольников. Если стороны плоского и сферического треугольников соответственно равны, то углы плоского треугольника равны углам сферического треугольника, уменьшенным на одну треть сферического избытка. Углы Ai

Cj называются плоскими приведенными углами. Если удерживать при выводе малые величины четвертого порядка, то разности между сферическими и плоскими приведенными углами выразятся формулами:

Сх-С= -

(20.11)

2

a2 + fe2 c2