Следовательно, полученными значениями величин А и б при обработке результатов угловых измерений в триангуляции 1 класса пренебрегать нельзя; они должны учитываться в виде поправок к непосредственно измеренным направлениям.

Заметим далее, что неучет этих поправок повлек бы систематическое накопление ошибок при передаче азимута в триангуляции. Пусть, например, происходит передача азимута по ряду триангуляции, изображенному на рис. 38 по ходовой линии ABCDEF посредством углов р, 1з 4- Ошибка из-за неучета двойственности нормальных сечений на каждом пункте равняется А. Если передача азимута осуществляется через п пунктов, то накопление этой ошибки на п пунктах даст величину пА. Положив А = О, 02 , а тг = = 10, получим суммарную ошибку в передаче азимута 0,2 , т. е. величину не-пренебрегаемую. Неучет этих поправок вызовет и дополнительную поперечную ошибку ряда.

Обозначив через ошибку угла j5, обусловленную неучетом двойственности нормальных сечений; через s - длину стороны триангуляции; через п - число сторон, определим влияние Щр на поперечный сдвиг всего ряда в точках:

Рис. 38

В (n~l)s,

С {n-2)s.

Суммарное действие этих влияний, которое обозначим через д, выразится так:

(1 + 2 + 3 + . . . + n{ni)sml

(17.8)

Положим = 0,02 , w = 10 и s = 40 км, тогда q = 0,2 м. При тех же данных, но при п = 5, q = 0,05 м.

Учет влияния расхождений азимутов взаимных нормальных сечений при обработке результатов угловых измерений заключается в том, что нормальные сечения заменяются геодезическими линиями. Практически такое образование треугольников из геодезических линий заключается во введении в измеренные направления поправок за переход от прямого нормального сечения к геодезической линии.

Рис. 37 показывает, что эти поправки, вычисленные по формуле (17.4), должны вычитаться из значений измеренных направлений.

§ 18. Положение геодезической линии относительно взаимных нормальных сечений

Выше показано, какое положение занимает геодезическая линия относительно взаимных нормальных сечений: геодезическая линия в начале своего пути от точки А к точке В располагается ближе к прямому сечению АаВ, нахо-

дясь на расхождения между взаимными нормальными сечениями в точке А;

по мере продвижения к точке В геодезическая линия приближается к сечению, обратному для точки А и прямому для точки В, ж на равном расстоянии между А ж В располагается посередине между обоими нормальными сечениями; наконец, в точке В она снова делит угол между взаимными нормальными сечениями в отношении 1 : 2, но находится уже ближе к сечению ВЪА. Однако при азимутах геодезической линии Л.а = О или 180° и азимутах, близких к 90 или 270°, положение геодезической линии несколько иное. Рассмотрим некоторые частные случаи особого расположения геодезической линии относительно взаимных нормальных сечений.

1. Если азимут А х-2 =0 или 180°, то значение поправки

будет равно 0; следовательно, если две точки А ж В находятся на одном меридиане, то прямое и обратное нормальные сечения и геодезическая линия сливаются. В этом легко убедиться и геометрически, так как нормали в точках А ж В лежат в одной плоскости - плоскости меридиана точек А ж В.

2. Пусть две точки А ж В находятся на одной параллели и, следовательно, азимут Ai прямого нормального сечения будет близок к 90 или 270°, r В - = В. В этом случае прямое и обратное нормальные сечения совпадут, так как пересечение нормалей к поверхности в точках А ж В с малой полуосью произойдет в одной точке; расположение геодезической линии относительно нормальных сечений будет иное по сравнению с указанным выше.

Глава III

РЕШЕНИЕ МАЛЫХ СФЕРИЧЕСКИХ И СФЕРОИДИЧЕСКИХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

§ 19. Общие сведения

После того как получены окончательные значения измеренных направлений или углов на новерхности эллипсоида, переходят к решению треугольников. Задача заключается в последовательном вычислении длин сторон треугольников триангуляции, причем известны одна сторона и углы в каждом треугольнике.

Строго говоря, треугольники триангуляции являются сфероидическими или эллипсоидальными треугольниками, поскольку они образованы на поверхности эллипсоида. На практике обычно приходится иметь дело с треугольниками, стороны которых не превышают 40-50 км и в редких случаях достигают 70-80 км. Вследствие близости земного эллипсоида к сфере различие в элементах сфероидических и сферических треугольников триангуляции пренебре-гаемо *. Таким образом, вычисление треугольников триангуляции сводится к решению сферических треугольников. Если решать треугольники по обычным формулам сферической тригонометрии, то стороны необходимо выражать в частях радиуса, но это неудобно, так как трактически стороны должны быть выражены в метрах. Поэтому треугольники триангуляции решают особыми методами, пользуясь теоремой Лежандра или способом аддитаментов.

При развитии геодезической сети методом трилатерации решение треугольников заключается в вычислении углов треугольников по их сторонам; в этом случае также целесообразно пользоваться теоремой Лежандра и способом аддитаментов.

§ 20. Решение сферических треугольников по теореме Лежандра

Пусть ABC (рис. 39) - сферический треугольник, стороны которого в линейных единицах обозначим через а, Ъ, с. По сторонам а, Ъ, с построим плоский треугольник А ВС (рис. 40), углы сферического треугольника обозначим соответственно через А, В, С, а углы плоского - через А Вц Cj. Поставим задачу найти разности углов А-А, В-В, С-Cj. Зная эти разности, можем от сферических треугольников переходить к плоским, имеющим такие же значения длин сторон, и, таким образом, производить решение треугольников, применяя формулы прямолинейной тригонометрии.

Обозначим через R радиус шара, на котором построен сферический треугольник. Тогда, применив формулу косинуса стороны для сферического треугольника ABC, напишем

а Ъ с , . h . с .

COS - = COS - COS - -f-sin sm - cos Л,

ri и ti 11. H

* Это будет видно в последующем, при изложении сведений о решении больших треугольников; вывод о величине и пренебрегаемости различий, при указанных размерах треугольников, между сторонами сферических и сфероидических треугольников можно видеть из формул теории изображения эллипсоида на шаре, например, теории Гаусса - см. § 28.