или окончательно с принятой точностью

s==N,a{ 1 Jl!£i£MiA) (16.10)

o-pfiJJflSS), (16.11)

Полученная формула при s = 150 км точна до 0,0001 . При s < 40 км поправочным членом можно пренебречь; тогда будем иметь

o-(2)iS. (16.12)

Более точные формулы, выводимые в фундаментальных руководствах по высшей геодезии, имеют вид

s = NxG- Л5 00821.2(7+ cosMi.2a +

+4 TiHg в, COS Л 1.2 (1 - 2ii2 cos2 л 1.2) a (16.13)

l + -cosMi2--Ц-cos* Л12 -

Т) tgiCOS Л1.2

(l-22cosMi.2)s3. (16.14)

Формулы (16.13) и (16.14) ошибочны на малые величины порядка NeG. Без вывода приведем формулы, устанавливаюш,ие связь между длиной дуги нормального сечения s и длиной хорды d, соединяюп];ей конечные точки дуги [44, стр. 75].

d=S- (i+r)l C0S2 1.2)2 Л? tg Bi cos Л1.2 (1 + л? C0S2 1.2)2

+ (1-72г2 tg2Bi+76ti5 cos2 Л1.2)

moN\

5 = d + (1 + cos2 a 1.2)2 tg Б cos Л 1.2 (1 +cos Л 1.2 )2

+ (3 + 247)2 tg2 i2ti2 cos2 1.2)

640iVi

§ 17. Углы между взаимными нормальными сечениями и геодезической линией

На рис. 36 изображен треугольник, вершинами которого являются известные из предыдущего параграфа точки А, к. Соединим точку Л с точками к ж к2 прямыми, которые будут хордами для частей дуг прямого и обратного нормальных сечений в точке А. Согласно рис. 36 имеем LkAk = -г или на основании формул (15.5) и (15.7)

/ 1 л1 { 1 cos2 Вт sin 210 (0-0) Z. кАк]--

/. кАк - гп

(17.1)

Представим, что расстояние Ак, а следовательно, и угол в убывают; в этом случае хорды Ли Л А;2 в пределе обращаются в касательные к прямому и обратному нормальным сечениям в точке А. Очевидно, при этом условии угол кАк обратится в угол между взаимными нормальными сечениями в точке А, который ранее мы обозначали через А.

Таким образом, полагая в (17.1) 6 стремящимся к нулю, получаем

д еа cos Вт sin 2Ai Поэтому на основании (12.1) и (17.2) находим

f е2о2 cos Вт sin 2Ах ~ 12

или, принимая во внимание (16.11) и (16.12),

(17.2) (17.3)

с p (?2s2 cos2 Вт sin 2А i

e2s2 (2)cos2 5;nsin2i 12p

(17.4)

Взаимное расположение нормальных сечений и геодезической линии между вершинами треугольника в общем случае показано на рис. 37.

Точность полученных выше формул для вычисления расхождений азимутов нормальных сечений и

Рис. 36

Рис. 37

геодезической линии вполне достаточна, если расстояния между точками на поверхности эллипсоида не превосходят нескольких десятков километров.

Однако при некоторых теоретических исследованиях, а также при определении больших расстояний и координат далеких точек на поверхности эллипсоида, когда расстояния исчисляются сотнями и даже тысячами километров, иногда возникает необходимость применения для указанных расхождений азимутов более точных формул.

Опустим выводы формул вследствие их громоздкости и приведем их в окончательном виде.

Для расхождения азимутов прямого и обратного нормального сечения в точке А

tisssini.gcosi.a rss sin Л1.2 tg Бх /.сч

--р--i];3-Р (17-5)

При этом Ai 2 понимается как разность между прямым и обратным нормальными сечениями в точке Л, т. е.

х-г - Аав - А

аьв*

Для разности азимутов прямого нормального сечения и геодезической линии в точке А с широтой В i более точная формула с удержанием членов порядка т] <7 имеет вид

, T]2s2sin Лх.зсоз Л1.2 r]ls sin Auiig в X глп

в.. =--с--Ш1-Р - ( -б)

причем по-прежнему

1.2 - 4 1.2 -§1.2

Приведем еш,е формулу, вьфажающую разность направления ВаА и направления геодезической линии В А. Эта величина будет выражать разность между углом, образованным плоскостью меридиана точки В и плоскостью прямого нормального сечения в точке А, и азимутом геодезической линии Б А.

Эта величина, которую назовем 62.1 будет

02.1--~5-Р--;гг-Р 11.;

причем

Ai.i = 2.1 -2.1-

Произведем подсчеты для определения числового значения расхождений между азимутами взаимных нормальных сечений и азимутами прямого нормального сечения и геодезической линии.

Если s - 200 км, то максимальные значения Л и б при Б = ОиЛ =45° получатся:

Д =.0,36 и б -0,12 . Если s = 100 км, то соответственные величины будут равны

А -0,09 и б*-0,02 .

Если S = 50 км, то

А -0,023 и б = 0,006 .

При вычислении направлений и азимутов в триангуляции 1 класса требуется обеспечить точность до сотых долей секунды. Для этого необходимо производить учет поправок и удерживать тысячные доли секунды.

* А. Т и л л о. Геодезические исследования Гаусса, Бесселя и Ганзена . 1866, стр. 150. В формуле Ганзена приведенные широты заменены геодезическими, что вызывает пренебре-гаемые ошибки порядка rfo и паз.