соида, которые пересекут ее в точках /, g, h, i; проводим нормальные плоскости в этих точках, проходящие соответственно через точки 4, d, С, е, J5, затем соединяем хордами точки А ж f, f ж d, d и f и т. д., т. е. выполняем во вновь отмеченных точках такие же действия, как и раньше.

Если продолжать такое построение до бесконечности, то плоскости, проводимые через нормаль в середине каждой хорды, обратятся в соприкасающиеся плоскости. Число хорд, а следовательно, и число точек пересечения нормалей, проходящих через середины хорд, будет бесконечно велико. Эти точки образуют непрерывную кривую, которая и будет геодезической линией так как выполнено условие, определяющее геодезическую кривую; в каждой точке ее нормаль к поверхности будет лежать в соприкасающейся плоскости кривой.

Рис. 23

Рис. 24

В результате построения (тем или иным путем) геодезическая линия займет положение относительно взаимных нормальных сечений, показанное на рис. 23.

При азимутах линий, не близких к 90 или 270°, положение геодезической линии относительно взаимных нормальных сечений будет несколько иным.

Определим приближенно угол, который образует геодезическая линия с прямым нормальным сечением.

При азимутах линий, близких к 90 или 270°, нормальное сечение, которое проходит через нормаль к поверхности эллипсоида, проведенную из середины хорды, соединяющей конечные точки кривой, делит углы между взаимными нормальными сечениями пополам. Так, на рис. 21 сечение АсСсБ делит пополам углы при А жВ между кривыми АаВ ж ВЪА, сечение AdddX делит пополам углы при АжС между кривыми АаСжАсС. Это положение доказывается в фундаментальных курсах высшей геодезии [27, стр. 56-57]. К этому же выводу можно прийти на основании геометрических соображений.

Воспользуемся этими свойствами кривых на эллипсоиде для приближенного решения поставленной задачи. Обозначим: Л - угол между взаимными нормальными сечениями в точке А, т. е. между кривыми АаВ ж ВЪА, б -

угол начального элемента геодезической линии в Л с прямым нормальным сечением на J5, т. е. с кривой АаВ. Будем иметь (см. рис. 21 и 24) углы между (Кривыми:

АсС и АаВ, равный АсС АаС Adj D АсС Addyy АаВ Add Aad Adid Afd Afd ЛйВ

4 Д

IF д

<и т. д.

В пределе, при бесконечном продолжении описанного выше построения, угол между кривой АаВ ж нормальным сечением, проходяш;им через нормаль, проведенную из середины ближайшей к точке А хорды, обратится в б. Тогда до аналогии с написанной выше таблицей будем иметь:

- )

Сумма членов геометрической прогрессии, стоящей в круглых скобках,

-равна -. Следовательно,

б=А.. (12.1)

Отсюда следует, что геодезическая линия на новерхности эллипсоида (при азимутах, не близких к 90 или 270°) делит угол между взаимными нормальными сечениями в отношении 1 : 2 и располагается в данной точке ближе к прямому нормальному сечению.

Иначе говоря, угол между геодезической линией, соединяющей точки А

и В, ж прямым нормальным сечением в каждой из этих точек равен угла

между прямым и обратным нормальными сечениями в данной точке.

В дальнейшем этой зависимостью нам придется воспользоваться при полу-учении формулы поправки в направления за переход от прямого нормального сечения к геодезической линии.

Если между двумя точками поверхности эллипсоида натянуть упругую нить, то нить примет форму геодезической линии. Действительно, равнодействующая упругих сил нити в каждой точке должна лежать в соприкасающейся плоскости, а сопротивление поверхности направлено по нормали к поверхности. При равновесии нити эти две силы уравновешиваются и соприкасающаяся плоскость будет содержать нормаль к поверхности.

§ 13. Упрощенный вывод основного уравнения геодезической линии

Рассмотрим элементарный полярный треугольник АРВ (рис. 25), образованный дугами меридианов АР, ВР и элементарной дугой геодезической линии ds.

Пусть направление начального элемента геодезической линии ds из точки А задано азимутом А. Проведем из точки В элементарную дугу параллели ВС. Разности широт и долгот точек А ж В обозначим через dB и dl, сближение меридианов в точке В - через dA.

Из элементарного треугольника АВС имеем:

М dB = ds cos А, г dl ==N cos В dl = ds sin A,

(13.1)

где r - радиус параллели.

Имея в виду, что угол при вершине В треугольника СРВ равен 90° - -dA, напишем:

cos (90° - В) = ctg dl ctg (90° - dA) tg dl sin В = tg dA dA ~ dl sin В

(13.2)

dA =

ds sin A tgB

Из (13.1) и (13.3) напишем

dD cos A

dl ds dA ds

ds M

sin A

= -cos A

N sin A

sec В - - sec В sin A

tgB = -tgBsinA

(13.3)

(13.4)

Заметим, что первые два уравнения из системы (13.4) могут относиться к элементам любой кривой на поверхности эллипсоида, поскольку они выражают линейные элементы поверхности; последнее уравнение относится только к геодезической линии (см. [2, стр. 71-72] или [55, стр. 33-37]).

Система уравнений (13.4) имеет весьма важное значение в высшей геодезии, так как она представляет собой исходные дифференциальные уравнения для решения прямой и обратной геодезической задачи на поверхности эллипсоида.