Формулы (108.34) определяют начальное значение истинной аномалии

sino = 7. cos{, = j. (108.64)

Из (108.44) находим начальное значение эксцентрической аномалии

tg-,

а из уравнения Кеплера - среднюю аномалию в эпоху Mq

Mq = Eq -е- sin Eq. Теперь из соотношения (108.53) получим

x=tQ-±-MQ,

где п определяется уже найденными значениями рже как

(108.65) (108.66) (108.67)

(108.68)

Таким образом, может быть задано полное решение задачи невозмуш,ен-ного движения ИСЗ.

Если ось X направить в восходящий узел орбиты, то уравнения (108.59) примут вид

х - г- cos и

у- г- sin W-COS i z = r- sin м-sin i В TO же время, в соответствии с рис. 184,

ж = г cos б COS {Q - а) у - г- COS б sin{Q - а) Z -Г- sin б

Отсюда

tg {Q-a) = cos i tg а sin6 = sin i- sin и Учитывая (108.38) и то, что

(108.69)

1 4-е- cos ==

4-е2

1 - е cos Е *

получим

г = (1 - е cos Е) = а{1 - е cos Е).

(108.70)

(108.71)

(108.72)

(108.73)

Уравнения (108.70) и (108.73) дают связь сферических координат а, б, г спутника с элементами орбиты.

2. Возмущения в движении ИСЗ

Гравитационное поле Земли в действительности не является полем центральной силы из-за несферичности Земли и неравномерности распределения масс внутри нее. Кроме того, на движение спутника действуют притяжения

Луны и Солнца, силы сопротивления атмосферы солнечного давления и т. п. В результате действия этих возмущаюш;их сил действительная орбита является не коническим сечением, а сложной пространственной кривой. Возмущения делятся на периодические и вековые. Периодические возмущения влияют на мгновенное положение возмущаемого тела и, в свою очередь, подразделяются на короткопериодические и долгопериодические. Вековые возмущения пропорциональны времени. Они больгае воздействуют на форму и ориентацию орбиты в пространстве. Возмущение, обусловленное сжатием центрального тела, имеет вековой характер.

Задача исследования возмущенного движения достаточно сложна. Наиболее плодотворной идеей для изучения возмущенного движения является идея оскулирующего движения. Она заключается в приближении дуг действительной орбиты (возмущенной орбиты) дугами невозмущенной орбиты. Такая невозмущенная орбита называется соприкасающейся (оскулирующей) орбитой. Таким образом, оскули-рующая орбита определяется как кеплерова орбита, элементарная дуга которой совпадает с элементарной дугой действительной орбиты.

Невозмущенное движение определяется шестью постоянными величинами р, е, Q, со, i,T. Пусть в момент t на ИСЗ подействовала малая возмущающая сила и длительность этого воздействия Ai мала. В результате вместо движения по орбите е, <о, г, т спутник будет двигаться по орбите р -Ь Ар, е -f Ае, О, + AQ, со -\- Асо, i -Ь Ai, т -Ь Ат, близость которой к невозмущенной орбите определяется величиной возмущающей силы. Как только действие силы прекратится, орбита станет кеплеровым эллипсом, но другим. Построив такие эллипсы для моментов i-]- Ai, i -f- 2 Ai и т. д., получим непрерывное изменение элементов под действием возмущающей силы. Орбита, таким образом, получается как набор точек, каждая из которых лежит на определенном оскулиру-ющем эллипсе. Изменение оскулирующих эллипсов описывается функциями р (i), е (i), (i), i it), T (i).

Обозначив через V потенциал поля, в котором движется спутник, а через ij? - потенциал возмущения, получим

Рис. 185

Движение по возмущенной орбите определится следующей системе ференциальных уравнений:

(108.74)

диф-

Дв gt gl-> gl - проекции возмущающего ускорения на оси ж, z/, z.

В дальнейшем удобнее воспользоваться проекциями возмущающего ускорения на оси г, S, W (рис. 185). В этой системе координат начало отсчета расположено в центре масс спутника, а направление осей выбрано следующим юбразом: г направлена но радиусу - вектору, s лежит в плоскости орбиты

и направлена под углом 90° к радиусу-вектору в направлении трансверсальной скорости, W направлена по нормали к плоскости орбиты в направлении вектора кинетического момента.

Уравнения связи координатных систем х, у, z и г, s, w (без учета сдвига) запишутся так:

X = (cos COS Q- sin и - sin Q- cos i}r

-f (cos и sin Q cos i - sin a cos Q) 5 + sin Q sin i w

у - (cos и sin Q + sin и cosQ cos i)-r-\--f (cos и cos Q cos i - sin w sin Q) s - cos Q sin i w

z = sin w sin i r -f cos и sin i s -{- cos i w

(108.76)

Для полного определения оскулируюш,ей орбиты необходимы 6 дифференциальных уравнений первого порядка

((элемент)/ = /(остальные элементы g, g-, gy

(108.77)

В курсах небесной механики (например, см. М. Б. Балк Элементы динамики космического полета , Наука , 1965 г.) приводятся выводы этих уравнений

dQ г sin и

~ sin г в

di г cos и

de dt

dp ЧГ

dw dt

dx dt

/.{sin0.g; + [(l-bj)-cosi + e-].g

sin d , г , . .

-;---ctgf.sinM -g

(e-sini-iV -cos ).gr--.iV.g

(108.78)

cosd-dO (l+ecos#)3

(108.79)

Bo многих практически встречающихся случаях возмущающее ускорение не зависит от времени t, и целесообразно за независимое переменное принять аргумент широты и.

Так как

du TfAjD

ctg S. sin и

(108.80) (108.81)