и внутреннего строения Земли и определяемые по результатам гравиметрических и спутниковых наблюдений.

Вектор ускорения спутника, вызываемого телом Земли, равен

з = #=-1Г =-7>VF, (108.4)

где г - вектор положения спутника; VF - вектор, составляюп1,ие которого равны частным производным возмущаюгдей части силовой функции Земли по соответствующим координатам.

Ускорение спутника, вызываемое притяжением других планет, представим в виде

где Pj, - соответственно гравитационный параметр и вектор положения i-й планеты.

Сила, с которой спутник тормозится атмосферой, называется силой лобового сопротивления. Ускорение, вызываемое этой силой, равно

ёг=--С,р{Н)ии, (108.6),

где Сх - коэффициент аэродинамического сопротивления; А - площадь сечения ИСЗ; V - скорость ИСЗ относительно Земли; р (Я) - плотность атмосферы как функции высоты: т ~ масса ИСЗ.

Ускорение, испытываемое спутником под действием светового давления, определяется формулой

ie = ii:4--r3, (108.7).

где К - коэффициент, характеризующий излучающую способность Солнца и отражательные свойства поверхности объекта.

В итоге дифференциальное уравнение движения спутника под действиел? перечисленных сил может быть записано как

g = --r+4V + -g, +ga+ (108.8)

= -- -+в, (108.9),

где -f - основное ускорение, вызванное притяжением Земли, рассматриваемой как материальная точка; - возмущающее ускорение, вызванное другими силами.

Траектория спутника определяется интегрированием этого уравнения. Решение задачи о движении спутника достаточно сложно и в качестве первого приближения рассматривают движение спутника под действием материальной точки с массой, равной массе Земли. Такое движение происходит в поле центральной силы и называется невозмущенным или кеплеровым (подчиняющимся законам Кеплера). Учет других воздействий и членов разложения потенциала дает возмущения в движении спутника.

ио так как

Кеплер вывел законы движения планет вокруг Солнца, но они справедливы для любого тела, массой которого можно пренебречь по сравнению с массой притягивающего тела, причем последнее должно обладать центральной симметрией распределения плотностей.

Законы Кеплера:

1. Орбиты планет суть эллипсы, в одном из фокусов которых находится Солнце.

2. Радиус-вектор каждой планеты описывает равные площади в равные промежутки времени.

3. Отношение квадратов периодов обращения двух планет равно отношению кубов их больших полуосей.

Траектории движения небесных тел могут быть круговыми, эллиптическими, параболическими или гиперболическими. Кроме того, в поле центральной силы возможно еще радиальное движение (подъем по вертикали и свободное падение).

Пусть центральное тело расположено в начале координат и имеет массу М. Спутник имеет бесконечно малую массу, и его положение задается вектором г. Тогда действующая на спутник сила, отнесенная к единице массы, равна

g=r=-7. (108.10)

В результате имеем систему трех дифференциальных уравнений второго порядка, решение которой зависит от шести произвольных постоянных. Умножим уравнение (108.10) скалярно на 2г и получим

2F. г - --Ь.27.г (108.11)

1Й=-7--Й. (108-12)

г = !;2, г = г\ (108.13)

1И = ---И (108.14)

() = --Ж = 2й()- (108.15)

Интегрируя это уравнение, получим

vi = 2!JIh. (108.16)

Выражение (110.16) называется интегралом энергии, а постоянная интегрирования h - постоянной энергии. Вид орбиты зависит от значения постоянной энергии: h = -р,/г - по окружности, Л О - по эллипсу, Л = О - по параболе, Л >0 - по гиперболе.

Если спутник движется по коническому сечению (не по прямой), то векторное произведение его положения г на скорость V выразится следующим образом:

;xF = xP=0. (108.17)

Дифференцируя это выражение по t, получим

Учитывая, что

(rxr) = rxr + rxr. (108.18)

rxr = 0

получим

I dt

I и после интегрирования

rxr-li-{rxr) = 0.

(rxr) = 0 (108.19)

~rxr=c, (108.20).

где с - постоянный вектор, называемый константой площадей.

Уравнение (108.20) называют интегралом площадей, и оно может быть переписано в координатной форме следующим образом:

(108.21),

zx-xz = С2

Величины Cj, 2, Сз называются постоянными площадей.

Из уравнений (108.21) легко получить важное соотношение

сх + су + CgZ = xyz - xzy -f zyx - xyz + xzy - yzx = 0. (108.22).

Постоянные площадей c, Cg, Cg образуют вектор кинетического момента и определяют плоскость, уравнение которой

Ciar+Csy + Cgz-O. (108.23

Эта плоскость проходит через начало координат (притягивающую точку МУ и является плоскостью орбиты.

Умножив с векторно на г, получим

сх7=-- (гХг)Хг=--rx(rXr)

и, воспользовавшись известным векторным тождеством

аХ(Бхс) =&-(а-с)-с-(а-Ь),

найдем

cxr---[r-{r-r)-V-{r-r)\= -- [/ -гтг]=-[х ~ (108.26),

V(cxF)=-.A(l). (108.27)

Интегрируя, найдем

сХг = [х-=-/, (108.28).

.30* 467,