Нетрудно видеть, что несовпадение прямых и обратных нормальных сечений, или, как говорят, двойственность нормальных сечений, приводит к тому, что измеренные горизонтальные углы на трех пунктах не образуют на поверхности эллипсоида замкнутого треугольника; фигура получается разорванной . Эту неопределенность в образовании треугольников можно устранить, если их вершины соединить геодезическими линиями.

§ 12. Геодезическая линия

Между двумя точками на любой поверхности можно провести множество кривых.

В геодезии решение задач по определению взаимного положения точек земной поверхности основано на построении на ней определенных фигур (обычно треугольников) и вычислении числовых значений элементов этих фигур. Поэтому следует решить, какими кривыми соединять точки поверхности земного эллипсоида при вычислении элементов геодезических построений.

В сфероидической геодезии точки на поверхности эллипсоида соединяются геодезическими линиями, которые определяются как кратчайшие расстояния на данной поверхности между заданными точками. Следовательно, геодезическая линия на данной поверхности играет роль прямой линии на плоскости или дуги большого круга на сфере. Введением геодезической линии устраняется неопределенность в построении геометрических фигур на поверхности земного эллипсоида и достигается однозначность решения задачи.

Из определения геодезической линии, как кратчайшей кривой между двумя точками на земной поверхности, следует и иное ее определение: геодезическая линия на поверхности - такая кривая, в каждой точке которой соприкасающаяся плоскость проходит через нормаль к поверхности в той же точке.

Докажем это свойство геодезической линии. Возьмем на поверхности эллипсоида три близкие точки М, N, К, через которые проведем плоскость. Как известно из дифференциальной геометрии, предельное положение плоскости при М N и К -> N носит название соприкасающейся плоскости; касательная в точке N лежит в соприкасающейся плоскости; главная нормаль в точке N совпадает с нормалью к поверхности.

Проведем через точку N различные кривые, имеющие общую касательную NT\ согласно теореме Менье, наибольший радиус в точке N будет иметь та кривая, в соприкасающейся плоскости которой лежит нормаль к поверхности в точке N. Возьмем точку iVj, расположенную на бесконечно малом расстоянии от точки N, и проведем между ними всевозможные кривые; наикратчайшей кривой из них будет та, которая имеет наибольший радиус (наименьшую кривизну). Следовательно, согласно сказанному ранее, наикратчайшей линией между двумя бесконечно близкими точками будет элемент той кривой, в соприкасающейся плоскости которой лежит нормаль к поверхности. Распространяя этот вывод на кривую конечной длины, получаем, что кривая на поверхности, в каждой точке которой соприкасающаяся плоскость проходит через нормаль в той же точке, является наикратчайшей, т. е. геодезической линией, иначе геодезическая линия на данной

поверхности - такая кривая, в каждой точке которой главная нормаль совпадает с нормалью к поверхности.

Из определения геодезической линии и понятия соприкасающейся плоскости можно себе представить следующий геометрический метод построения геодезической линии на земном эллипсоиде.

Пусть РР (рис. 20) - малая ось эллипсоида, Ап-*- нормаль к поверхности эллипсоида в точке А. Установим в точке А теодолит так, чтобы его вертикальная ось совпадала с нормалью Апх\ после этого в заданном направлении отметим на поверхности эллипсоида точку а, близкую к А. Перенесем теодолит в точку а, совместим вертикальную ось инструмента с нормалью ап, направим трубу на точку А, повернем алидаду точно на 180° и

Рис. 20

Рис. 21

отметим на поверхности эллипсоида близкую к а точку Ъ. Затем перенесем тео--долит в точку &, установим его вертикальную ось по нормали Ъп., наведем-трубу на точку а, переведем алидадную часть теодолита точно на 180° и наметим в плоскости трубы точку с, близкую к Ь. Поступая таким образом до тех пор, пока расстояние между начальной точкой Л и соответствующей точкой г не сделается равным заданному, и предполагая, что указанные выше перестановки теодолита производились через бесконечно малые расстояния, получаем на эллипсоиде геодезическую линию.

Действительно, плоскость АаЬп будет, во-первых, соприкасающейсяпло скостью полученной кривой в точке а, так как в этой плоскости лежат отрезки аА и а6, которые можно рассматривать как касательные к кривой в точке а\ во-вторых, в этой плоскости лежит и нормаль ап, то же самое будет и в точках Ъ, с, dH т. д. Следовательно, условия, определяющие геодезическую кривую, соблюдены; нормаль к поверхности лежит в соприкасающейся плоскости

4 п. с. Закатов

в каждой точке кривой. Согласно § 11, нормали Ап, ап, Ьп, сп пересекают малую ось эллипсоида в разных точках, поэтому плоскости АаЬп, аЬсщ, bcdn не совпадут между собой и точки Л, а, Ь, с, d и т. д. дадут на поверхности эллипсоида непрерывную кривую двоякой кривизны.

В изложенном методе построения геодезической линии каждая последу-юш;ая точка геодезической линии определяется по двум предшествующим при условии бесконечно малых расстояний между каждыми двумя смежными точками.

Очевидно, для построения геодезической линии на поверхности между заданными точками А жВ необходимо знать нанравление первого элемента кривой.

Рис. 22

Покажем другой путь построения геодезической линии между точками А ш В. Пусть на рис. 21 АаВ - прямое нормальное сечение в точке Л, а ВЬА - jipHMoe нормальное сечение в точке В.

Соединим А ж В хордой и из середины ее проведем нормаль к поверхности эллипсоида; пусть С - точка пересечения этой нормали с поверхностью эллипсоида. Проведем плоскость через нормаль в точке С ж точку А; в этой плоскости будет лежать хорда АВ. Следовательно, эта плоскость пройдет и через точку В. Сечение этой плоскостью поверхности эллипсоида показано кривой АсСсВ. Очевидно, эта плоскость будет плоскостью прямого нормального сечения из точки С на точку Л и на точку В.

Проведем прямое нормальное сечение в Л на точку С; пусть это сечение изобразится кривой АаС, которое расположится на поверхности эллипсоида южнее, чем обратное сечение СсЛ, поскольку точка С на чертеже располагается севернее точки Л. Аналогично этому прямое нормальное сечение в точке В на точку С изобразится кривой ВЬС, которая будет расположена севернее нормального сечения СсВ, так как точка С находится южнее точки В.

Соединим хордами точки Л и С, Б и С и из середины этих хорд проведем нормали к поверхности эллипсоида, которые пересекут последнюю в точках d и е; затем исполним те же действия, какие произвели ранее в отношении точки С: проведем нормальную плоскость в d через Л так, что она пройдет и через точку С и изобразится кривой Ad-ddC. Точно так же построим нормальную плоскость в е, проходящую через С; она пройдет и через точку В ж изобразится кривой СееВ. Прямое нормальное сечение в Л на точку d изобразится кривой Л а id; прямое нормальное сечение с С на d - кривой Ccd, прямое сечение с В жа. е изобразится кривой ВЪе, прямое сечение с С на е - кривой Ссе.

Далее поступаем так же: соединяем хордами точки А ж d, d ж С, Сие, .е и В (рис. 22); из середины этих хорд проводим нормали к поверхности эллип-