Из параллактическоготреугольника имеем

cos Z = sin ф sin б + cos ф cos б cos t, или, принимая во внимание, что

i-=r+а,

напишем:

cos 2 = sin ф sin б-j- cos ф cos б cos (Г+ и-а). (101.1)

Полагая экваториальные координаты а и б безошибочными, после дифференцирования формулы (101.1) получим

-sin zdz - cos ф sin б бф - sin ф cos б cos td- cos ф cos б sin t {dT + du),

-sin z dz = (cos Ф sin б - sin ф cos б cos t) d(p - cos ф cos б sin t {dT -r du). (101.2) Из параллактического треугольника имеем

-sin z cos a = sin б cos ф - cos б sin cp cos t ]

cos 0 sm i = sin z sin a J

Учитывая формулы (101.3), выражение (101.2) перепишем в таком виде: -sin zdz= -sin z cos adcp - sin z cos ф sin a {dT -f du)

dz = cos a d(p -f cos ф sin a {dT -\-du). (101.4)

Решая последнее уравнение последовательно относительно d ж du, заменяя дифференциалы конечными разностями Az, Аф, АГ и Ам, рассматриваемыми как ошибки величин z, ф, Т ж и, получим

= - tg 1(АГ -Ь Аи), (101.5)

АиАТ\ +-.---(101.6)

* cos ф sm а cos ф tg а

Установим, при каких условиях ошибка Аф в формуле (101.5) и ошибка Ам в формуле (101.6) будет иметь минимальное значение; очевидно, это будет тогда, когда коэффициенты при погрешностях в правых частях формул (101.5) и (101.6) имеют минимальное значение; кроме того, эти формулы позволяют установить порядок и программу наблюдений, при которых неизбежные погрешности, получаемые в отдельных приемах, имели бы наибольшую компенсацию в среднем из всех приемов.

Рассмотрение формулы (101.5) приводит к следующим заключениям относительно наивыгоднейших условий определений широты по рассматриваемому способу:

1) коэффициенты при ошибках Az и (АГ -f Аи) будут иметь минимальное значение при а = О или 180°; следовательно, наблюдения должны выполняться в меридиане, практически - вблизи меридиана;

2) так как при наблюдениях вблизи меридиана ошибка в Аф, вызываемая (АГ -- Aw), будет хотя и мала, но не равна нулю, то следует половину наблюдений производить до прохождения через меридиан, а вторую половину - после прохождения через него; в этом случае указанные ошибки наблюдений

до и после прохождения через меридиан будут иметь разные знаки и в среднем компенсироваться;

3) при а, равном О или 180°, т. е. при cos а, равном 1 или -1, член

cos а

будет иметь разные знаки; поэтому надлежит широту определять по северным и южным звездам, наблюдая по очереди то одну, то другую попарно; в этом слу чае ошибки в широте, обусловленные ошибкой в Az, в среднем из наблюдений северных и южных звезд будут компенсироваться.

Рассмотрение формулы (101.6) приводит к следующим заключениям отно сительно наивыгоднейших условий определения поправки часов:

1) влияние ошибок в Az и Аф будет минимальным при а = 90 или 270°, т. е. когда sin а - ±1 ntga = со; следовательно, наблюдения с целью определения поправки часов надлежит производить в первом вертикале, практически - вблизи первого вертикала;

2) при а = 90 или 270°, т. е. при sin а = -Ы или -1, член --:-

, СОЗфЗШО

будет иметь разные знаки; поэтому надлежит поправку часов определять по ; западным и восточным звездам, наблюдая последовательно то одну, то другую попарно; в этом случае ошибки в поправке часов, обусловленные ошибкой в Az, в среднем из наблюдений западных и восточных звезд будут компенсироваться;

3) ошибка поправки, обусловленная ошибкой отсчета по часам А Г, одинакова при всех условиях и зависит от точности отсчитывания часов.

Таковы выводы о наивыгоднейших условиях применения способа измерений зенитных расстояний для определения широты и поправки часов.

2. Определение широты

А. Точное определение широты. Формулы для вычисления широты из наблюдений северных и южных звезд напишутся на основании формул (93.8), (93.9) и (93.10):

ф = б-Ь2

Ф-6-z (101.7)

Ф=.180--(2+б) J

Эти формулы соответствуют верхней кульминации южнее зенита, верхней Кульминации севернее зенита и нижней кульминации.

В формулах (101.7) символ z обозначает зенитное расстояние светила в момент прохождения его через меридиан. Так как практически наблюдения ведутся не строго в меридиане, а вблизи него, то приходится в измеренные зенитные расстояния вводить малую поправку, которая называется редукцией на меридиан и обозначается через г. Формула этой поправки следующая:

г COS ф COS б . t /лс\л о\

sin =--sm-y. (101.8)

sin -J (z + z)

В правую часть формулы входят как аргументы широта ф и зенитное расстояние z, которые неизвестны, поэтому редукцию приходится вычислять методом последовательных приближений. Практические формулы и порядок вычислений сообщаются в подробных курсах практической астрономии.

Измеренное зенитное расстояние исправляется поправкой за рефракцию, которая определяется по формуле (100.13), если известны давление и температура в момент наблюдений.

При применении настоящего способа определения широты, т.е. при наблюдении северной и южной звезд, наблюдения можно выполнять при одном круге.

В качестве северной звезды часто используют Полярную; для нее редукции на меридиан при больших значениях t должны вычисляться с большей тщательностью.

Б. Приближенное определение широты по Полярной. Формулы для вычисления широты по Полярной упрощаются благодаря тому, что склонение Полярной приближенно равно 89°, а следовательно, полярное расстояние А = 90° - б 1°.

Вывод формул для вычисления приближенной широты из наблюдения Полярной дадим по методу последовательных приближений.

Первое приближение. Полагая, что Полярная находится в точке полюса, в первом приближении имеем

ц) = Ж-г. (101.9

Второе приближение. Рассматривая малый треугольникPRg (см. рис. 177) как плоский, имеем

x=Acost, (101.10)

так что

ф = (90°-2)-Асо8. (101.11)

Третье приближение. Решаем треугольник PoZ как сферический и после преобразований с использованием значения широты из второго приближения согласно формуле (101.11) получим окончательно:

ф = (90° - Z) - А соз t + -4г sin21 tg (90° - z). (101.12)

Для вычисления широты по измеренным зенитным расстояниям Полярной составлены специальные таблицы, помещаемые в Астрономическом ежегоднике, которые существенно упрощают и облегчают вычисления по этому способу.

В формуле (101.12) А - видимое полярное расстояние для момента наблюдения, а в Астрономическом ежегоднике приводятся значения члена А о cos t, в котором А о является средним полярным расстоянием для начала года, поэтому необходимо ввести поправку за разность (А - А о) между видимым полярным расстоянием и средним. Тогда формула (101.12) перепишется так:

Ф = (90° - z) - Ао cos t -I- sinH tg (90* - z) - (A - Ад) cos t, (101.13)

Ф - (90* -z) + I + II-Ь III, (101.14)

где введены обозначения:

I = -Aq cos t,

II = + sin2ng(90-z), III = -(A -Ao) cos t.