Контроль по таблицам:

Для В = 54° 32 19,354 Ъ = 179 798,002

Sp = = 17,979 8002.2 746,882

контр 49 388,389 м.

Расхождение sp - sp = +1 мм.

§ 9. Вычисление площадей съемочных трапеций

Вычисление площади съемочной трапеции или листа карты сводится к определению части поверхности эллипсоида, ограниченной линиями меридианов д и параллелей.

Возьмем на эллипсоиде (рис. 15) бесконечно малую трапецию ЛВС/). Стороны этой трапеции, как элементы дуг меридианов и параллелей, будут равны:

AB = CD==MdB,

AD = ВС cos B\dl.

Площадь элементарной трапеции ABCD, обозначенной через dT, выразится формулой

Рис. 15

dT = MN cos В dBdl.

(9.1)

Площадь dz всего пояса, ограниченного параллелями, получится, если в формуле для dT величину dl заменить через 2л;, т. е.

dz = 2nMN cos BdB = 2nR cos В dB,

cos в dB

dz = 2яЬ2

(1-e2sin2 5)2

(9.2)

Площадь поверхности пояса эллипсоида, расположенного между параллелями с широтами Bi и Во, будет

(9.3)

Для вычисления интеграла (9.3) разложим подынтегральную функцию в биноминальный ряд *.

cos B{i - e sin2B)-2 = cos В + 2 sinB cos В + Зе sin*B cos В + . . . (9.4)

* Интеграл (9.3) берется в конечном виде. Положив е sin 5 = six в, будем иметь

С dQ

е cos В dB = созвав. После подстановки (9.3) примет вид z = 2nfe2 v - Как известно,

\ COS \У

это табличный интеграл и берется в элементарных функциях. Однако получаемое при этом выражение для площади мало пригодно для вычислений.

Следовательно,

z= 2nb (cos5+2e2sin2Bcos5 + 3e*sin*Bcosi5+ . . .)dB,

z = 2ji62

(9.5)

Для приведения этой формулы к виду, удобному для практического применения, воспользуемся формулами, дающими выражения синусов нечетных степеней в функции синусов нечетных дуг *.

sini? - 4-sin 5 - sin 35 4 4

sini? = Trsin В

-j sin 3B + sin 55

(9.6)

Заменяя в формуле (9.5) синусы нечетных степеней согласно выражениям (9.6) и подставляя пределы интегрирования, получаем

f 2 Г 3 1 ~1

z = 2 6*(sinB2-sin 5i)-{--д-е (sin Bg-sin Б) --(sin ЗВ2-sin 35i) -\-

+f [-(sin B2- sin5i) - (sin 32- sin 35i) + (sin 52- sin ЪВ] + ..-},

Z = 2Я62 {(sin 2- sin i5i) (1 + у e2 J I (sin 32- sin ЗВ1) (1 e2 + A

+ (sin552-sin55i)-e*-. . .}. (9.7)

Заменяя разности синусов по известным формулам тригонометрии, получаем

Z = W {(l +1 еМ-1 е) sin cos В - (1.2 -1- sin IX

X(52-Bi)cos3B4e*sin(52-50cos554+. .

0/r> =--.

При разложении выражения (9.4) в ряд члены с е, и т. д. не были приняты во внимание. Более точная формула для площади пояса с учетом членов с и будет имеет вид

Z = W [А sin cos B-R sin- {В- В) cos ЪВ + С sin -X

X {В - Вт) cos ЪВ - D sin у (2- 5i) cos 7B-f sin - (B2- B) cos 9B; }, (9.8) * Эти формулы получаются на основе общей формулы

Sin2 +ia: = -J- f(2 + l)2n ...( + 2) (2n + l)2n ... (n + 3) 3

22 I 1.2.3...П 1.2.3(n-l) ЗШЙЖ-Ь

(2n + l)2n ... (n + 5) -1

1.2.3 ... (-3) sm/a:+....

(2д + 1)2п . . (n + 4) 1.2.3 . . . (n-2)

Л = 1-I-- 4-- -4-- о 6 16

16

JL-j-~ 112

192 5 64

256 5

2304

(9.9)

Формула (9.8) выражает площадь пояса эллипсоида, ограниченного параллелями с широтами BiK В- Чтобы получить формулы для вычисления площадей трапеций данного масштаба и номенклатуры, берут разность широт северной и южной рамок трапеций В - Bi и разность долгот западной и восточной рамок AZ.

Например, для государственной карты масштаба 1 : 1 ООО ООО В - Bi = = 4°, разность долгот восточной и западной рамок карты = 6°, т. е. равна 1 : 60 полной окружности пояса. Поэтому рабочая формула для вычисления площадей трапеций масштаба 1 : 1 ООО ООО будет

Р HIA sin 2° cos В,п - В sin 6° cos ЗВ, + С sin 10° cos 5Д -

- i)sinl4cos7B ,H-£sinl8°cos95}. (9.10)

Положив в формуле (9.7) Bi = О, Вд = 90° и удвоив полученное выражение, получим формулу для вычисления площади S - всей поверхности эллипсоида

2 = 4jt62 {l +1 +1 ,4 I ,6 а I 8 + 10 . . . I. (9.11)

Площадь поверхности эллипсоида Красовского, вычисленная по формуле (9.11), будет равна 510 083 035 км2.

Радиус шара В , площадь которого равна площади эллипсоида Красовского, равен 6 371 116 м, а радиус шара, равновеликого по объему эллипсоиду Красовского, равен 6 371 110 м.

Следовательно, при приближенных вычислениях, когда Землю возможно принимать за шар, его радиус следует брать равным 6371 км.

§ 10. Расчет рамок съемочных трапеций

Полученные в предыдущих параграфах формулы позволяют легко вывести выражения для размеров рамок съемочных трапеций.

Пусть рис. 16 изображает съемочную трапецию масштаба -; широта

южной параллели В, северной - В2*, разность долгот западного и восточного граничных меридианов трапеции А1. Очевидно, западные и восточные рамки трапеции равны и представляют собой дуги меридианов между параллелями с широтами Bj и В2- Поэтому

AB = CD = c = 4 (10-1)