Пусть РЕРР - эллипсоид с центром О и размерами о и ао (рис. 1б5). Возьмем второй эллипсоид РЕРР с размерами а + ба и ао, центр которого смеп1;ен относительно первого эллипсоида, а оси параллельны. Начало системы координат возьмем в точке О - центре первого эллипсоида. Координаты центра второго эллипсоида (точки О) пусть будут бо, бг/о, бо! они будут выражать {вместе с условием параллельности соответствующих осей обоих эллипсоидов) ориентировку второго эллипсоида относительно первого.

Возьмем на втором эллипсоиде некоторую точку с координатами х, у, Z и соединим ее с центром начала координат, т. е. точкой О. Обозначим ОМ- через р, а радиус-вектор ОМ через ро- Пренебрегая различием в направлениях радиуса-вектора и нормали (равным максимально 11,8 согласно § 4), можно с достаточной точностью положить, что (С - 1,) равно Ар = р - ро-

Для определения Ар напишем уравнение второго эллипсоида

(х-ба?о)2 + (1/-б?/о)2

(z-6zo)2

= 1.

{ао-\-6аУ [(ао + ба)2(1-2ао)]

Преобразуя это уравнение и принимая во внимание, что

да . 6xqx , буоУ I bzoz

получаем

р = ао

Далее, имея в виду, что

х = р cos В cos L г/= р cos 5 sin L z = р sin В

(85.13)

(85.14) (85.15)

(85.16)

и пренебрегая различием между р и о в коэффициентах при поправках получаем

р = о -f-6a-l-cosBcos Z/6zq-}-cos 5sin Ldysin ВЬг - аа smB. (85.17) Напишем на основании (59.15) уравнение первого эллипсоида в виде

Ро aQ-aaQsinb. (85.18)

Сравнивая последние два выражения, находим

Ар = С - С ба 4-cos5 cos L6a:o-1-C0S J5 sin Z.6o-f-sin56zo, (85.19) T. e. уравнение (85.12), если положить, что

N (1 е2 sin2 В)6а = Y - sin 5 ба ба.

Полученные в настоящем параграфе уравнения могут быть использованы как дифференциальные формулы для вычисления поправок в координаты геодезических пунктов за переход от одного референц-эллипсоида к другому или, иначе, за переход от одной системы координат к другой. Такая задача, в частности, может возникнуть при следующих обстоятельствах: имеются две изолированные триангуляционные сети, которые были вычислены с применением различных параметров эллипсоидов. Требуется вычислить поправки к координатам одной системы за переход к другой. Для решения этой задачи необходимо

знать разности параметров обоих референц-эллипсоидов, т. е. ба, ба, 6Bq, 8Lq, 6t,o- Тогда, переходя от этих разностей к поправкам ориентирования бжо, 6i/o, 60, посредством выражений (85.6) находим искомые поправки координат за переход от одной системы к другой.

Обычно разности ба и ба всегда известны; для вычисления разностей 6Bq, 6Lo, б необходимо наличие геодезической связи между исходными пунктами обеих триангуляции; эта связь может быть осуществлена путем определения хотя бы одного пункта одной системы в другой. Тогда задача решается соответствующим применением тех же формул. Если ба и ба известны, а бхд, бг/о и 6zo неизвестны, тогда поправки бВ, 8L ж б можно вычислить только за влияние разностей ба и ба.

В этом случае неучтенное влияние различия параметров ориентирования обоих референц-эллипсоидов войдет в результаты вычислений (например, при решении прямой или обратной задачи) как ошибки определения вычисленных величин. Но тогда по формулам (85.7) и (85.6) можно приближенно рассчитать величину этих ошибок путем использования при вычислениях некоторых возможных предельных различий в элементах ориентирования. Так как в среднем уклонения отвеса характеризуются величиной ±4 , а колебания высоты геоида относительно эллипсоида лежат в пределах 100-150 м, то максимальное различие 6Bq, 6Lq обеих систем координат может быть принято ±6-8 и бо = = ±100 м (это различие может быть большим, если ориентирование одного из референц-эллипсоидов выполнено по одному астрономическому пункту, расположенному в районе со значительными или большими уклонениями отвеса). Рассчитанные по формулам (85.6) и (85.7) значения 6J5 и 6L с принятием названных числовых значений 6Bq, бЬ ж б1,о будут характеризовать возможные ошибки результатов вычислений, вызванные неучетом различия в параметрах ориентирования обоих эллипсоидов.

Если геодезическая связь между триангуляционными сетями, вычисленными с принятием различных местных референц-эллипсоидов, по каким-либо причинам не может быть осуществлена, то при наличии мировой гравиметрической съемки переход к одной системе координат может быть осуществлен следующим образом.

Для одного астрономо-геодезического пункта в каждой триангуляции на основе материалов гравиметрической съемки вычисляют по формулам типа формул Венинг-Мейнеса абсолютные уклонения отвесной линии, после чего переходят по известным формулам (63.1) к геодезическим координатам обоих пунктов. Если при выводе уклонений отвеса использованы материалы мировой гравиметрической съемки, то вычисленные указанным образом геодезические координаты этих пунктов, относящиеся к разным триангуляциям, будут отнесены к единому эллипсоиду - к общему земному эллипсоиду. Тем самым будет осуществлена связь между обеими системами координат.

Далее, в зависимости от условий поставленной задачи, нетрудно получить поправки к той или другой системе координат. Точность решения задачи изложенным методом будет определяться ошибками астрономических определений и ошибками вывода уклонений отвеса, зависящими главным образом от полноты использованных гравиметрических данных. Если при выводе уклонений отвеса будут использованы гравиметрические данные не для всей поверхности Земли, то ошибка в осуществлении такой связи будет зависеть от различия влияния аномалий силы тяжести неучтенных зон. Эта ошибка может быть и весьма малой - практически пренебрегаемой и весьма заметной - в зависимости от взаимного расположения обеих триангуляционных сетей, полноты использова-

ния гравиметрических данных, расположения зон, аномалии которых не были учтены при выводе уклонений отвеса относительно обоих астропунктов, и т.п. Ожидаемое значение этой ошибки в общем виде не может быть определено, но оно может быть с достаточной точностью рассчитано в каждом конкретном случае.

Изложенный путь решения задачи возможен при использовании гравиметрических данных на весьма значительной части земной поверхности, охватывающей, в частности, расположение обеих триангуляционных сетей; использование только местных гравиметрических съемок (вокруг взятых астрономических пунктов) не может привести к решению поставленной задачи и с этой точки зрения бесполезно.

Изложенные соображения в части решения частной задачи позволяют сделать один важный вывод общего характера: по завершении мировой гравиметрической съемки создается возможность соединения в единую систему всех триангуляции, расположенных на различных континентах, без непосредственных геодезических связей между ними.

Однако непосредственные геодезические связи необходимы для наиболее точного вывода параметров общего земного эллипсоида; чем обширнее триангуляция, использованная для составления уравнений градусных измерений (85.9), (85.10) и (85.11), тем надежнее определены параметры а (или ~ щ), бятр, 6i/o, 6zo.

§ 86. Общие сведения о выводе параметров земного эллипсоида из астрономо-геодезических и гравиметрических данных

Решение задачи по выводу параметров земного эллипсоида и элементов гравитационного поля Земли рассматриваемым методом должно основываться на совместном использовании астрономо-геодезических и гравиметрических измерений; эти измерения, конечно, должны быть выполнены на значительной территории; при этом возможно использование измерений, выполненных на разных континентах и без непосредственной связи между собой.

Резкое различие в возможности выполнения астрономо-геодезических сетей и гравиметрических работ на поверхности Земли (возможность развития геодезических сетей только на суше, а гравиметрических работ на всей земной поверхности) приводит к тому, что влияние астрономо-геодезических данных на вывод параметра сжатия а, определяемого гравиметрическими измерениями, становится весьма малым, практически неощутимым, а совместные определения становятся формальными. При наличии гравиметрической съемки на всей поверхности Земли или на большей ее части значение сжатия и при совместном использовании всех данных фактически определяется гравиметрическими данными. Гравиметрические работы, получившие развитие значительно позже астрономо-геодезических, в настоящее время далеко превзошли последние по охвату земной поверхности.

Исследования В. Ф. Еремеева и М. И. Юркиной по этому вопросу показывают, что в то время как гравиметрическая съемка с той или иной плотностью покрывает значительную часть поверхности Земли, градусные измерения, уже использованные для выводов местных эллипсоидов, покрывают малые доли земной поверхности. Поэтому один из возможных путей решения рассматриваемой задачи заключается в следующем.