ориентировке (т. е. в исходных геодезических данных в пункте А на dB, dL и dAi),io можем написать

dBb =

( дв1 \

dLk = dLi -f-

dBi +

dAx-h

( дВ\

a -f-

дв1 \

dU ь\ I dl\ у\ ( dl\ ь\ ( dl] и \

дВ\ I dA[ I -\ da I \ da j

(83.4)

Обозначая производные в первом уравнении (83.4) через р, а во втором через q, получаем:

/ дв1

\ дВг

dl\.k \

( dl\.k \ \ да /

с этими обозначениями и с учетом формул (83.4) уравнения градусных измерений (83.3) примут вид:

lk = m - Bl-р\- dBl -Р\- dAi - plk Аа - р Аа y\k sec = %k-L\- dLi - q\ dB -qikAi q- Да- gi-fe Да \ Из (83.1) получим:

dBi = i-B\~li dLi = Xi - - rji sec Ф1 dAi = ai-A\ -nltgфl Принимая BO внимание (83.6), уравнения (83.5) переписываем так: Ь = Щ-В\-Р\- (Ф1 -В\) + p\fli -р\- (ai- А\) + + Pli tg ф1 ~ р\- Да - р\Да rife sec ф = - Ll - (Я1 - L\) -Ь sec ф - д-* (фх - В\) + + q\4x - q\- ( 1 - 2) + ql-x tg ф - g- Да - q];k Аа

(83.5)

(83.6)

(83.7)

Если референц-эллипсоид ориентирован в исходном пункте по астрономическим данным, то фх = Bl; Xi = Ll; aj = В этом случае уравнения (83.7) примут более простой вид:

1к = Щ - Вк + Pl4i + Pl-\ tg ф1 - pl Да - р1- Да rife sec ф = {Xk - Lk) + q\\x + [1 + q\ sin фЛ x\ sec ф - q] Да - q\ Да

(83.8)

Уравнения (83.7) и (83.8) - окончательные; о вычислении коэффициентов р YL q будет сказано ниже. Эти уравнения представляют собой широтное

и долготное уравнения градусных измерений, составленные для пункта К\ для всех остальных пунктов 5, С, D, . . ., О эти уравнения будут иметь аналогичный вид. Для начальной точки сети А получим следующие уравнения:

1. (83.9)

т]18есф1 = П1зесф1 j

Решая уравнения (83.8), составленные для всех точек, вместе с (83.9) по способу наименьших квадратов при условии Е (2 2) = min, находим размеры и ориентировку искомого эллипсоида, т. е.

а = 4- Да \

л L (83.10)

а = ао + Аа ]

Li = Ki - 111 sec ф1 i=ai-iiitg Ф1

(83.11)

Уравнения (83.8), составленные для точек В, С, . . О, отнесены к начальной точке триангуляции А, следовательно, коэффициенты р и q соответствуют геодезическим линиям, соединяющим каждую из точек В, С, D, Е, . . ., К, ...,0с начальной точкой триангуляции А. Длины этих геодезических линий для такой территории, как СССР, будут выражены сотнями и тысячами километров. Коэффициенты/) и д, обозначающие частные производные в уравнениях (83.4), очевидно, - не что иное как коэффициенты, стоящие перед d, dA, Да и Да в дифференциальных формулах.

Ио при выводе упомянутых формул в главе V имелись в виду расстояния, соответствующие длинам сторон треугольников триангуляции, т. е. расстояния, во много раз меньшие расстояний, с которыми приходится иметь дело при вычислении коэффициентов р ж q. Поэтому для их вычисления следует пользоваться более точными дифференциальными формулами [31, стр. 278-291 и 339-342].

При выводе уравнений градусных измерений (83.7) и (83.8) ошибками в определении астрономических координат ф, X, а и в результатах вычислений геодезических координат В°, L° ж А° можно пренебречь, так как они малы по сравнению с величинами 1 и т]. Если астрономические координаты были предварительно исправлены гравиметрическими поправками, то под величинами Ит] следует понимать погрешность этих поправок, т. е. б и бт].

Изложенный метод составления уравнений градусных измерений также основан на методе развертывания.

§ 84. Методы установления исходных геодезических дат

Здесь рассмотрим методы установления исходных геодезических дат для отдельной триангуляции.

Простейшим образом ориентирование референц-эллипсоида может быть произведено по одному астрономическому пункту. Рассмотрим этот случай. Пусть на пункте А, принимаемом за исходный, произведены астрономические определения широты фо, долготы Я,о и азимута направления ад с пункта А на пункт В. Практически ориентирование эллипсоида по одному астрономическому пункту производится просто: полагают, что геодезические координаты

в начальной точке равны астрономическим и высота геоида над эллипсоидом в этой точке равна нулю, т. е.

Яо =90-0,171* sin 2ЯоЯ2; Lq = Xo Hq = Яо

0 = 0

(84.1)

Рассмотрим геометрический смысл такого ориентирования референц-эллипсоида. Равенство геодезических и астрономических координат в исходном

Рис. 160

пункте означает, что в этом случае направление нормали к новерхности референц-эллипсоида совпадает с направлением отвесной линии; эллипсоид в данной точке касается геоида.

Пусть на рис. 159 представлено тело Земли: жирной кривой показано сечение геоида плоскостью астрономического меридиана точки А\ линия PPi - ось вращения Земли; Лап - направление отвесной линии. Угол между An и РРх равен 90° - фо- Точка а - проекция точки А на поверхность геоида. Угол между плоскостью астрономического меридиана АРР и вертикальной плоскостью, проходящей через точки АжВ, - астрономический азимут ао-

Найдем на поверхности выбранного эллипсоида (рис. 160) точку, в которой нормаль к поверхности составляет с малой осью РРх угол 90° - фо и нормальное сечение aj&i, имеющее азимут а. Теперь ориентирование эллипсоида в теле Земли можно представить себе следующим образом: расположим эллипсоид так, чтобы точка ах совпала с точкой а, а нормаль ахПх - с отвесной линией an. После этого эллипсоид может еще вращаться вокруг линии an. Для того чтобы окончательно определить его положение в теле Земли, совмещаем плоскость нормального сечения айх с плоскостью вертикального сечения аЪ, после чего плоскость геодезического меридиана ахРРх совместится с плоскостью астрономического меридиана аррх, и положение эллипсоида будет вполне определено. Это положение эллипсоида показано на рис. 159 пунктиром. При этом малая всь эллипсоида будет параллельна оси вращения Земли, и экватор эллипсоида займет положение, параллельное земному экватору.