lg/c = lg-iiil.2 = 3,93l5 lo.

о Р

Таблица 2

Длина дуги меридиана в м

На основании формулы (7.14) можно репшть обратную задачу: определить разность широт конечных точек дуги по длине дуги и средней широте ее

S{i)r

(7.16)

далее

Практически нередко приходится решать следующую задачу. Даны широта первой точки 5, расстояние по дуге меридиана до второй точки s; требуется определить широту второй точки В2- Имеем

В,=-В, + {В,-В,).

Для определения {В - В-) воспользуемся формулой (7.16); однако сразу по этой формуле искомая разность {В - .Bi) не может быть вычислена, так как неизвестна средняя широта JB, по которой должен быть рассчитан радиус или взята из таблиц величина (1). Рассмотрим решение задачи с применением метода последовательных приближений.

В первом приближении вычисляют {В - Bj), используя для определения (1) широту первой точки, получают приближенное значение {В - В), т. е.

{B,-B,), = s{i),;

{В,), = В,+ {В,-В,),.

С этим значением широты второй точки вычисляют приближенно среднюю

широту (B i)i = -jdliE* используя найденную приближенную среднюю

широту {B)j, находят разность широт {В - В) и среднюю широту {В) во втором приближении. Аналогично производят вычисления в третьем приближении, четвертом и т. д. до тех пор, пока два смежных приближения не дадут одинаковые результаты в пределах заданной точности, которые и будут окончательными.

Выше было дано общепринятое решение по выводу формулы длины дуги меридиана, основанное на разложении подынтегральной функции (7.1) в ряд по биному Ньютона и последующем почленном интегрировании.

Дадим несколько иное и также, конечно, приближенное решение исходного интеграла

s = [ MdB. {1Л1)

Применим к выражению (7.17) наиболее простую и достаточно точную формулу Симпсона (формулу парабол), разделив при этом интервал интегрирования на две части; тогда можно записать:

(Mi-i-4M z+M2).

(7.18)

В формуле (7.18) радиус кривизны М определяется в трех точках искомой дуги меридиана - в начальной, конечной и средней, соответственно по широтам В, Ви В= (5i -f В,).

В окончательном виде формула (7.18) перепишется

s = ky АВ , = 8 080 228 10-l

(7.19)

AB = {B,-BJ\

Формула (7.19) при расстояниях s до 1000 км обеспечивает вычисление длины дуги меридиана с ошибкой порядка 1-2 см.

Для контроля вычислений дугу меридиана s следует получить как разность длин дуг Х2 и Xi меридиана от экватора до точек с широтами Во и 5, т. е.

S - Х- XjL.

Значения величин Хж Xi выбирают из Таблиц для вычисления плоских конформных координат Гаусса в пределах широт от 30° до 80° .

Пример. Вычисление длины дуги меридиана по формуле (7.19) между точками, широты которых В = 49° 2958,938 и В = 45° 3017,221 ,

Контроль по таблицам:

но широте В2.....Х2 = 5 485 298,588 м.

по широте В г.....Xi = 5 041 133,243 м.

= 444 165,345 м.

§ 8. Вычисление длины дуги параллели

Параллель на эллипсоиде вращения является окружностью, поэтому вычисление дуги параллели сводится к определению дуги окружности с центральным углом, равным разности долгот конечных точек дуги. Радиус параллели г определяется по формуле (4.9), которая имеет вид

а cos В а cos В /о л \

rNcosB =

-е2 sin2 В

Длина дуги параллели s, имеющей широту В и разность долгот конечных точек дуги Z, очевидно, дается формулой

, дг г, I I COS в S - N COS в - = -ттт- р (2)

(8.2)

Отсюда легко получаем разность долгот двух точек параллели под широтой В, расположенных на расстоянии

1 = (2) S sec В. (8.3)

В табл. 3 приведены для справок длины дуг параллелей для широт от 30 до 70° на эллипсоиде Красовского.

ТаблицаЗ

Длина дуги параллели в м

в один градус

30 40 50 60 70

96 489,9 85 395,3 71 696,9 55 800,9 38 187,2

в одну минуту

16081 1423;3 1194,9 930,0 636,5

в одну секунду

26,8 23,7 19,9 15,5 10,6

Пример. Вычислить длину дуги параллели между точками, лежащими на этой параллели, если даны разность долгот этих точек и широта параллели *: I = 0° 45 46,882 , В = 54° 32 19,354 .

Решение проверить по контрольной формуле Sp = bl , используя Таблицы для вычисления плоских конформных координат Гаусса в пределах широт от 30° до 80° .

Схема решения:

Пример взят из [10, стр. 18-19].