к их проекциям вычисляют по формулам, выражающим указанные поправке в функции величин, определяющих взаимное положение земной поверхности и поверхности референц-эллипсоида, т.е. геодезических высот и уклонений отвесных линий.

Длины измеренных базисов проектируются на поверхность референц-эллипсоида нормалями к нему. В измеренные направления вводятся поправки за уклонения отвесных линий относительно нормалей к эллипсоиду. При вычислении поправки за высоту наблюдаемой точки принимают расстояние от объекта визирования до поверхности эллипсоида по нормали к нему и т. д.

По методу развертывания непосредственно измеренные величины редуцируются на поверхность геоида. В этом случае редукции вычисляют в функции величин, определяющих взаимное положение земной поверхности и геоида. Так, например, при редуцировании длин измеренных базисов вносят поправки за высоты, отсчитанные от уровня моря, т. е. от геоида, причем редуцирование производится по нормалям к последнему, т.е. при помощи направлений отвесных линий. В измеренные углы никаких поправок не вводится.

Редуцированные на поверхность геоида геодезические величины считаются как бы редуцированными на поверхность референц-эллипсоида; иначе говоря при методе развертывания пренебрегают несовпадением геоида с референц-эллипсоидом. Исследования показывают, что отступления геоида даже от наилучше выбранного референц-эллипсоида могут достигать 150 м. Отсюда легко сделать вывод, что пренебрегать несовпадением геоида и референц-эллипсоида нельзя.

Геометрически метод развертывания можно представить так: редуцированные на поверхность геоида величины как бы укладываются, развертываются на другой поверхности - поверхности эллипсоида, откуда и возникло название метода.

Сравнение обоих методов редуцирования позволяет сделать следующие общие выводы.

1. Метод проектирования - строгий метод перехода от измеренных геодезических величин к их проекциям на поверхность референц-эллипсоида, сохраняющий взаимное положение точек земной новерхности и создающий возможность строгой обработки сколь угодно обширной астрономо-геодезической сети. Для применения этого метода необходимо предварительно установить размеры референц-эллипсоида и его ориентировки в теле Земли.

При этом не требуется использования наилучше установленного референц-эллипсоида. Принципиально метод обеспечивает возможность строгой математической обработки и при значительных отклонениях референц-эллипсоида от наиболее подходящего эллипсоида, но из практических соображений, указанных в начале настоящего параграфа, необходимо, чтобы референц-эллипсоид был лишь достаточно близок к наилучше подходящему эллипсоиду.

2. Метод развертывания - нестрогий метод; его применение вызывает искажения (систематического характера) элементов астрономо-геодезических сетей при их обработке, вызванные приближенностью результатов решения редукционных задач. Величина этих искажений зависит от размера астрономо-геодезической сети и ошибочности принятых при вычислениях параметров референц-эллипсоида. Для достижения возможно точных результатов обработки материалов астрономо-геодезической сети при методе развертывания Необходимо, чтобы референц-эллипсоид в пределах астрономо-геодезической

сети был наилучше подходящим к геоиду. Однако и в этом случае искажения уменьшатся, но не исчезнут, так как останутся влияния отступлений геоида от этого эллипсоида. Таким образом, для вполне точной математической обработки обширных астрономо-геодезических сетей метод развертывания непригоден.

Точное редуцирование измеренных величин на поверхность геоида требует знания плотностей Земли вне геоида; эти данные неизвестны, поэтому, строго говоря, точное редуцирование на геоид невозможно. Впрочем, ошибки, возникающие вследствие приближенности решения этой задачи, будут несравненно меньше искажений, обусловленных нестрогостью метода развертывания.

Из изложенного следует, что для обработки астрономо-геодезических сетей следует применять метод проектирования, что и осуществляется в СССР в настоящее время.

§ 75. Редукция базиса на поверхность референц-эллипсоида

Пусть на земной поверхности измерен базис между точками А шВ (рис. 148) Наша задача - определить его проекцию на поверхность референц-эллипсоида нормалями к последнему в конечных т,

точках базиса. \

Если AAi и BBi - нормали к референц-эллипсоиду, то требуется найти длину кривой АВ как дуги нормального сечения поверхности эллипсоида, имеющего азимут А.

Возьмем некоторый малый отрезок измеренного базиса dl (рис. 149),

В поверхность т

/<вазигеоид

за который примем один пролет, равный длине инварной проволоки (24-метровой), и поставим себе целью найти его проекцию на референц-эллипсоид.

Искомая редукция этого отрезка составится из трех слагаемых редукций: а) за переход к проекции отрезка на уровенную поверхность горизонта инструмента (поправка за приведение к горизонту); б) за непараллельность уровенной поверхности горизонта инструмента и поверхности эллипсоида; в) за высоту базиса над референц-эллипсоидом.

На рис. 149:

dl - длина непосредственно измеренного отрезка аЬ\ dlQ - проекция отрезка dl на уровенную поверхность, проходящую через точку а, т. е. горизонт инструмента; отрезок dlQ перпендикулярен направлениям отвеснь1х линий тп и ттг;

dsQ - проекция отрезка dl на кривую ab, параллельную нормальному сечению поверхности эллипсоида в плоскости базиса; V - угол наклона отрезка dl к горизонту точки а;

0 - относительное уклонение отвесной линии в вертикальной плоскости базиса;

dH - превышение одного конца пролета над другим, получаемое из нивелирования целиков. Из рис. 149 непосредственно следует, что

dlo =Ы1 cos V

dsQ = dlQ - QdH.

(75.1) (75.2)

Кдаэигеоид Редзеренц-j5g зппипсоид

\ i Для получения проекции отрезка dl на поверх-\ ность референц-эллипсоида, т. е. ds, обратимся к -рис. 150, из которого

9а + Н

(75.3)

еде рл - радиус кривизны нормального сечения оо т вычисляемый по формуле (6.8), и Я = Я -f-

Составим производную пропорцию

dso- ds

Далее

dsQ - ds -

9а + Н

dsn =

dsQ-

dsQ.

(75.4) (75.5)

Заменяя dsQ в (75.5) через его выражение (75.2) и пренебрегая малыми вели-рйкнами третьего элемента, получаем

dlo-edH-ds= -dlo- dh,

<а Pi

:уда, принимая во внимание (75.1),

ds = dl cos V--- dlo dlo - ® dH,,

(75.6)

(75-7)

(75 8)

Учитывая требования, предъявляемые к профилю базиса, значения Я Цожно заменить средним значением высоты базиса Нщ Тогда (75.8) окончательно примет вид

Pa j