J + АО) ds = ~ [(Os + Ща + (2 + А0)в1.

Так как, согласно (73.25),

то (73.33) примет вид

(Ov + ДО) = [(of, + 0,) - (of + 0)

После подстановки (73.35) в (73.28) получим

- (С?г - Саг) = (Of, + аг) - Г(С? - С) + (f - а) 4-

(73.33)

(73.34)

(73.35)

(73.36)

Полученное выражение (73.36) и является формулой астрономо-гравиметрического нивелирования, полученной Молоденским еще в 1937 г.

Первый член (73.36) представляет собой формулу астрономического нивелирования (без учета непараллельности уровенных поверхностей), второй член - поправку за нелинейность изменения уклонения О и различие в параметрах общего земного эллипсоида и референц-эллипсоида.

Величины Ог и Оа получают просто по формуле (65.18); значения величин Са и Оо можно определять методом численного интегрирования по формулам Стокса и Венинг-Мейнеса, т. е. по формулам (62.26) и (64.8) или в горных районах по формулам Молоденского,

Практически вьгчисления по формуле (73.36) производят с применением специальной эллиптической палетки. Формулу (73.36) часто используют в виде

г в -Г

bar Ьа

p =: ±(Of, + er

(73.37)

где ACs - поправка, стоящая в формуле (73.36) в квадратных скобках.

Левая часть полученной формулы (73.37) представляет собой средний наклон квазигеоида над референц-эллипсоидом на линии АВ, выраженный в секундах дуги.

Для вычисления высот квазигеоида необходимо знать высоту его относительно референц-эллипсоида в одной из точек. Эта высота определяется обычно в начальном пункте триангуляции способом, описанным в главе ХП1. Далее, определяя разности высот между последовательно расположенными точками квазигеоида по формуле (73.36), получают профиль его поверхности относительно поверхности референц-эллипсоида. Имея ряд таких профилей, составляют карту высот квазигеоида.

Остановимся на зависимости между изменениями высот квазигеоида (или геоида) и уклонений отвесных линий.

На рис. 145 изображена гора в виде равнобедренного треугольника. Избыток массы, обусловленный наличием горы, очевидно, вызовет уклонения отвесных линий по направлению к горе. Поверхность эллипсоида и нормали к ней изображены сплошными линиями, а пунктиром показан профиль квазигеоида (или геоида) и направления отвесных линий. В точках а и е, достаточно удаленных от горы, влияние ее массы не ощущается, поэтому в данных точках Нормаль совпадает с отвесной линией. Ближе к горе отвесные линии начинают

уклоняться, в результате чего поверхность квазигеоида отступает от поверхности эллипсоида; у подножия горы изменение кривизны его сечения происходит наиболее сильно, этому соответствуют значительные уклонения отвесных линий в точках Ъ ж d. Отступление квазигеоида от эллипсоида, характеризующееся на рис. 145 отрезком сс, может быть невелико, но этому малому отступлению могут соответствовать большие уклонения отвесных линий.

Рис. 145

И, наоборот, в точке с, являющейся вершиной волны квазигеоида, направление отвесной линии совпадает с нормалью к поверхности эллипсоида. Таким образом, приходим к выводу, что малые отступления квазигеоида от эллипсоида могут вызвать большие уклонения отвесных линий и, наоборот, большие отступления квазигеоида от эллипсоида могут не вызывать заметных уклонений отвеса.

Существенны характер и закономерности отступлений квазигеоида или геоида от поверхности эллипсоида, конечно, при правильно подобранных его

- /тпантичесний.

Едропа Азия Гихий онеан \ Америка океан £6ропа

Рис. 146

размерах и ориентировке. Выше отмечено, что общие очертания фигуры квазигеоида не совпадают с общим рельефом земной поверхности. Возникает вопрос, каков все же характер отступлений квазигеоида или геоида от эллипсоида? Не существует ли крупных волн геоида? Немецкий геодезист Гельмерт в 90-х годах прошлого столетия пришел к выводу, что общих отступлений геоида от эллипсоида не существует. Несколько раньше профессор Московского университета Ф. А. Слудский пришел к противоположному заключению: он указывал на существование общих, систематических отступлений геоида от эллипсоида. По исследованиям Ф. А. Слудского, повышения геоида над эллипсоидом происходят в океанах, а понижения - на материках. Позднейшие исследования подтвердили выводы русского ученого: сейчас доказано существование общих громадных волн геоида, охватывающих целые континенты и океаны, отступлениям геоида от эллипсоида сопутствуют общие систематические уклонения отвесных линий. Характерно для отступлений геоида от эллипсоида медленное

ЮОм

ИХ изменение на огромных расстояниях, исчисляемых в тысячах километров. Поверхность геоида, изменяя свою кривизну по различным сечениям, всюду остается выпуклой. Наибольшие отклонения геоида от эллипсоида около 150 м. На рис. 146 приведен профиль геоида, экстраполированный на земной экватор. На рис. 147 показано суш;ествование больших волн геоида, изменяющихся по долготе. Окружность изображает экватор земного эллипсоида. Отложим от точек экватора под соответствуюпщми долготами величины отклонений геоида от эллипсоида и соединим плавной кривой, которая будет сечением геоида по экватору *. Из рис. 147 следует, что в общем эта кривая приближается к эллипсу. Это обстоятельство наводит на мысль о том, что фигурой Земли, наиболее приближающейся к геоиду (квазигеоиду), является трехосный эллипсоид, а не эллипсоид вращения. Долгота большой оси экваториального эллипса равна приблизительно 0°, разность большой и малой полуосей этого эллипса приближенно может быть получена по максимальным положительным и отрицательным отклонениям геоида от эллипсоида, т. е.

140+125 +96-Ь 75

= 218 м.

Соответствующее этой разности сжатие экваториального эллипса i будет

а - Ъ 218 1

6 378 ООО

30 ООО

Укажем, что вывод размеров эллипсоида Красовского сделан с учетом эллиптичности экватора, причем была принята долгота наибольшего меридиана 10° и i - 1 : 30 ООО (эти данные приняты на основании соответствующей обработки материалов градусных измерений).

Кроме указанных общих больших волн геоида, которые вызваны причинами, сказывающимися во всех точках земного шара, существуют мелкие волны геоида (или квазигеоида). Они вызваны местными причинами, действие которых ограничено небольшой областью. Этими местными причинами могут быть горные хребты, резкое падение рельефа в береговой полосе и т. д. Местные отступления геоида являются малыми, но вследствие большого изменения кривизны уровенной поверхности они могут вызывать большие уклонения отвесных линий до нескольких десятков секунд. Примеров этому много, приведем некоторые из них. На Западном Кавказе уклонения \ по меридиану на расстоянии около 300 км изменяются от +27 до -20 . На меридианном профиле около г. Орджоникидзе уклонения \ колеблются в пределах от +35 до -18 на расстоянии около 50 км; разность уклонений на таком сравнительно малом расстоянии доходит до 53 . В районе озера Байкал разности уклонений отвесных линий отдельных пунктов, расположенных на разных берегах озера (60 км),

* То, что профиль геоида на рис. 147 не везде выпуклый, не противоречит сказанному выше, а объясняется неравенством горизонтального и вертикального масштабов.