Возьмем вместо точки А точку О, совпадающую с футпгтоком, принятым для начала счета высот. Тогда (72.35) для произвольной точки М примет вид

R==[gdh (72.36)

J g dh

Y45° Y450

т. е. получим в правой части выражение для динамической высоты Ям (72.30).

Покажем, что динамическая разность уровней равна разности динамических высот. Выражение (72.35) можем написать так:

fi = J-J (72.38)

или, Принимая во внимание (72 36), или численно

Ra=HT-HT (72.39)

Следовательно, выражаясь геометрически, любые две уровенные поверхности во всех своих точках динамически равноудалены одна от другой.

Напомним, что этим свойством не обладают нормальные и ортометрические высоты.

Из (72.39) вытекает, что при использовании результатов нивелирования для инженерно-технических расчетов, связанных с учетом работы, совершаемой в гравитационном поле Земли, выгодно использовать систему динамических высот.

Преобразуем выражение (72.37) так:

м м , м м

дМГдГ V .-W+. brzW (72.40)

J т450 J Y450 J J 450

0 0 0 0

Обозначим

тогда

R = dh qdh. (72.41)

в (72.41) первый интеграл численно представляет сумму непосредственно

измеренных превышений, т. е. Ям а второй - динамическую

цоцравку АЯ .

Для более простого выявления суш,ности этой поправки рассмотрим ее

значение в нормальном поле Земли, т. е. положим, что g = 7. Тогда для Rq согласно (72.40),

(72.42)

На основании формулы Клеро (59.34) и (61.5)

Г = (1 ±еоз2<р-Гя). м м

лf = J (i/j + ( - COS 2ф-- я)

Тогда

(72.43) (72.44)

Следовательно, динамическая поправка АНм* определяется суммой двух слагаемых:

м мм

АНТ =--1- cos 2ф - Hdh = -- j cos 2ф сЛ -

(72.45)

Первое слагаемое--1- J cos 2ф dh можно назвать поправкой за

ду м - 0

широту ; второе слагаемое---

2 =-0,3086- - поправ-

кой за высоту .

При вычислении материалов государственных геодезических сетей динами- ческие высоты не применяются.

§ 73. Астрономическое и астрономо-гравиметрическое нивелирование

Астрономическое и астрономо-гравиметрическое нивелирование - методы определения превышений точек квазигеоида (геоида) относительно поверхности референц-эллипсоида.

, Для уяснения сущности обоих методов нивелирования рассмотрим следу-*щий простейший случай, на котором наряду с освещением основной идеи

данного вида нивелирования просто покажем и различие между обоими методами.

Пусть А (рис. 139) - начальная точка триангуляции, для которой = 0. Для получения приближенной формулы допустим, что профиль земной поверхности совпадает с некоторой уровенной поверхностью Wа = сq. ю пост. Возьмем точку А-, бесконечно близкую к точке А. Прямая Ап - нормаль к эллипсоиду, прямая А{П/- отвесная линия.

Обозначим:

е- - уклонение отвесной линии в азимуте сечения АА-, тогда угол при точке А между сечением уровенной поверхности Wa = с и эллипсоидом также .будет ;

dt, - превышение точки А- над точкой А относительно эллипсоида; ds - расстояние А А х-Таким образом,

dC=-&ds. (73.1)

Рис. 140

Геодезическая высота уровенной поверхности Wa = С над эллипсоидом в точке В, находящейся на конечном расстоянии s от точки А, изменится на величину

-5л = - I

(73.2)

Это и будет искомая формула нивелирования, практически точная при НУ const. Для общего случая Ну ф const интеграл J ds будет главным

членом формулы астрономического нивелирования; поправочный член будет выражать влияние непараллельности уровенных поверхностей.

Как видно, принципиальная схема нивелирования данного вида чрезвычайно проста; существенные затруднения возникают при вычислении интеграла J bds, на чем и остановимся подробнее.

Практически при вычислении превышений dt, под последними можно понимать превышения = t,- между точками, расположенными на конечном, но достаточно близком расстоянии s.

Но, согласно формуле (73.2)\ для вычисления уклонение О должно быть известно в каждой точке нивелирования; поэтому, если расстояние между точками нивелирования принимается конечным, а закон изменения Ь неизвестен, то приходится задаться некоторым условием или предположением о характере вменения в пределах этого расстояния s. Наиболее простым и важным усло-