-h{-e-i-.-)osB.... (7.3)

Обозначая:

(7.4)

получаем

L- = -5cos25--Ccos45-. .. (7.5)

(7.6)

Подставляя найденное значение в (7.1), получаем

S = а (1 - е) j (Л - 5 cos 25+ С сов 4В - ...) dB.

Интегрируя почленно, находим

S = а (1 - е2) U {B - Bi)-{sm 2B-sm 2В) + (sin 42 - sin 4Bi)- . ...

(7.7)

Полученная формула является общей для дуги меридиана. Рассмотрим основные преобразования формулы (7.7) в зависимости от цели ее применения.

1. При вычислении геодезических таблиц, например для вычисления таблиц координат Гаусса - Крюгера, возникает необходимость вычислять длины дуг меридианов от экватора до точек дуги, расположенных через определенные интервалы широты. В этом случае начальная широта 5 = 0. Переменной величиной при вычислении будет широта В = В, поэтому формула (7.7) может быть оставлена без перегруппировки членов. Таким образом, получим

= a{i - e)U y--sin2B+- sin45-. .. j . (7.8)

Особенность этого случая в том, что широта В может изменяться от О до 90°; длина дуги при этом может быть значительной, и вычисления следует вести, как правило, с большим числом членов.

После подстановки числовых значений элементов эллипсоида Красовского выражение (7.8) напишется

6- = 6 367 558,49695- 16 036,4803sin 25+16,8281 sin 45-

-0,0220 sin 65+.... (7.8)

2. При обработке градусных измерений с целью вывода размеров земного эллипсоида формула (7.7) становится неудобной. В этом случае широты концов

измеренных меридианных дуг, участвующих в обработке градусных измерений, могут считаться постоянными; в отличие от предыдущего случая размеры эллипсоида (или поправки к некоторым приближенным их значениям) подлежат определению. Поэтому нужно расположить члены ряда, выражающего дугу меридиана, так, чтобы около определяемых величин а, е, и т. д. сгруппировать постоянные члены.

Преобразуем формулу (7,7), учитывая изложенные соображения и заменяя разности синусов через произведения синусов и косинусов соответствующих углов.

Для уменьшения алгебраических преобразований ограничимся только членами с е2.

Из (7.7) и (7.4) будем иметь с оговоренной точностью

s = a{l-e)\(i + e{B,-В,) -е sin {В-В,) cos {В,+ В,). Примем

sin {В, - В,) = (В, - В,) - iElZ и введем среднюю широту В по формуле

Получим

sa{i-e)[(\+ А,2) - 5,) -i [{В, - В,) - iIJZ] cos 2

S = а (1 2) (Вз 5i) l + 4 - Т cos 2Вт + (2- Bf cos 25, (7.9)

7 ~ (Т + Т25) е + -е cos 2В} . (7.10) Пренебрегая членом порядка {В2 - В), получаем с принятой точностью ==(l-(i+-cos2B ).). (7.11)

3. Для вычислений в триангуляции, когда стороны незначительны и редко превосходят 40-50 км, дадим более простую и удобную формулу. Для этого обозначим

Введем вспомогательную величину

Которая, очевидно, представляет собой длину дуги окружности с радиусом, равным радиусу кривизны меридиана в точке со средней широтой. На основании (7.5) напишем

5, = а (1 - е) (2-1) ( cos 2Вг,г+ С cos АВ),

Подставим значения коэффициентов А, В, С

., = a(l-.)iiZ{(l + 4. + f .)-- (Т + IF 25 г+ ~COS 451. (7.12) Сравнивая (7.12) с (7.10), получаем

5 = 1 + 111 2 cos 25 [В, -

Полагая в поправочном члене последней формулы а (1 - е) = М, , т. е. пренебрегая членами порядка е* (Вз - В s, получаем

. =М cos2В (5.

Окончательная формула для вычислений в триангуляции имеет вид

(7.13)

Формула (7.13) пригодна для расстояний порядка 400 км (при s = 400 км допущенная выше погрешность порядка - е* (Вз - Bi) s даст ошибку в значении S, равную приблизительно 1 мм).

При S 45 км значение поправочного члена будет меньше 1 мм, поэтому поправочный член в (7.13) можно отбросить и вычисления вести по формуле

s = Mn.SEll = Sb=, (7.14)

Следовательно, при длине дуги, меньшей 45 км, можно рассматривать ее как сферическую с центральным углом, равным разности широт конечных точек, и описанную радиусом меридионального сечения, соответствующим средней широте дуги.

Коэффициенты А, В, С, введенные ранее при выводе формул для дуги меридиана, для эллипсоида Красовского имеют следующие значения:

Л = 1,005 051 7739,

5 = 0,005 062 37764,

С = 0,000 010 62451,

Z> = 0,000 ООО 02081.

В табл. 2 приведены для справок длины дуг меридиана на эллипсоиде Красовского для некоторых широт с точностью до 0,1 м.

После элементарных преобразований формула (7.13) приводится к логарифмическому виду. Удержанное число членов обеспечивает вычисление дуг до 400 км длиной

lgs = lg.=+k{B,~B,) cos2Brn, (7.15)