РWQ и Wm - значения потенциалов силы тяжести для уровенных поверх-остей, проходящих через точку О и через точку М, g - значения силы тяжести в пунктах нивелирного хода; dh - элементарное превышение.

Потенциалы Wq и W постоянны для каждой уровенной поверхности, поэтому постоянно и AW = g dh. Отсюда следует, что значение j gdhne зависит

йт пути нивелирования, а только от положения начальной и конечной его точек. 1 На основании (58.19) можем написать

Г g dh

Пм=-=-=-=- (/2.5)

1де g - некоторое значение силы тяжести.

Приращение потенциала силы тяжести в данной точке относительно на-t. сального футштока, взятое с обратным знаком, называется геонотен-риалом.

f Геонотенциал для точки М относительно точки О будет

-{Wm-Wo)= [gdh. (72.6)

Следует иметь в виду, что главной характеристикой высоты репера является Яменно геопотенциал, как непосредственно измеренная величина, а не какие-либо расстояния от данной точки до некоторых воображаемых поверхностей. 5 Если высота начальной точки не равна нулю, например, если начальным Пунктом нивелирного хода является точка Л, имеющая высоту Н, то будем меть

,где - по-прежнему некоторое значение силы тяжести.

Формулы (72.5) и (72.7) - исходные для установления различных систем

1С0Т.

Существуют четыре системы геопотенциальных высот: приближенные, о р т о м е т р и ч е с к и е, нормальные и динамиче-.;f к и е.

Ч, Рассмотрим последовательно теории этих систем и получим формулы для вычислений.

1, Приближенные высоты

Приближенные высоты получатся, если не принимать во внимание реаль-гравитационное поле силы тяжести Земли.

К вычислению приближенных высот приходится прибегать в том случае, вдоль линии нивелирования не производились измерения силы тяжести, ляющие влияние действительного поля силы тяжести Земли; вычисление 1ближенных высот используется и как промежуточный этап при вычислении в других системах. Из определения приближенных высот следует, что измеренные величины следует исправить только за непараллельность уровенных поверхностей [шального поля.

Обозначая Aw - разность потенциалов уровенных поверхностей, т. е. исходной и проходящей через данную точку; у - силу тяжести нормального потенциала и Яриб - искомую высоту, на основании (72.5) напишем

J ydh

Лприб- -м - -лГ -

im m im

где Ут - среднее значение нормальной силы тяжести на отвесной линии ММ.

2. Ортометрические высоты

Ортометрическими высотами называются расстояния от поверхности геоида до точек земной поверхности, считаемые по отвесным линиям, проходящим через эти точки. Для точки М (рис. 137) ортометрическая высота выразится расстоянием ММ.

Для применения формулы (72.5) определим несколько иначе разность потенциалов Wq - W. Так как точки О и Mj лежат на одной уровенной поверхности, то

Wq-Wm==Wm~Wm = 1 gdh= gdk. (72.9)

о Ml

Применив теорему Лагранжа о среднем значении функции, напишем

I gdhgdh gHlt, (72.10)

М, Ml

м

гдб gm - среднее значение действительной силы тяжести на отрезке отвесной

линии MiM, а Н = I dh, согласно определению, - ортометрическая вы-

сота точки М.

Тогда для ортометрической высоты Ям получим

г g dh

H,= =i . (72.11)

o/n ьт

Из (72.11) следует, что ортометрические высоты Ям не зависят от пути нивелирования и ортометрические высоты точек, расположенные на одной уровенной поверхности, будут иметь разные значения, так как расстояния от геоида до уровенной поверхности точки М не остаются постоянными и будут зависеть от gmy значения которых будут различными в разных точках.

Ортометрические высоты имеют крупный недостаток принципиального характера - они не могут быть вычислены точно, так как входящая в формулу для Я величина gm сложным образом зависит от распределения плотностей внутри Земли, которые в настоящее время неизвестны. Величину Я можно вычислить, задаваясь той или иной гипотезой распределения масс Земли. В этом случае точность вычисления Я будет зависеть от степени достоверности при-

мененной гипотезы строения Земли. Вследствие этого не представляется возможным в полной мере оценить точность получаемых высот Н.

Если применять ортометрическую систему высот, то геодезическая высота Ям точки М, показанная на рис. 134 отрезком MMq определится

Нм -{-

где t, - высота геоида над поверхностью относимости, которая, как показали специальные исследования, также не может быть вычислена точно. Поэтому при применении системы ортометрических высот задача по вычислению геодезических высот не получает точного и строгого решения.

От этого весьма сугцественного недостатка свободны нормальные высоты, которые ввел Молоденский при разработке общей теории исследования фигуры Земли.

В практике геодезических работ СССР применялись орт омет рические высоты; во многих странах они применяются и сейчас. В СССР и социалистических X странах перешли к системе нормальных высот.

3. Нормальные высоты

Изложим теорию нормальных высот * несколько подробнее, чем в § 61, I ж получим удобные рабочие формулы для их вычислений. Обратимся к рис. 138.

\ уроОвййт поверх-\тть нормального

Нвазигеоив

Поверхность относимости UUq

Рис. 138

. Пусть основная уровенная поверхность - геоид определяется уравнением = Wq = пост, и за поверхность относимости принят уровенный эллипсоид [Ормального потенциала, для которого и - и.

Потенциал на уровенной поверхности силы тяжести (действительной), Й?оходящей через данную точку земной поверхности М, обозначим через Wm щобразим сечение уровенной поверхности нормального потенциала, для кото-ЛИЙ и = пусть это будет кривая ОМ, тогда

Wq-Wm = Uq-Um,

(72.12)

До 1951 г. высоты, определяемые по формуле (61.2), Молоденский называл вспомога-1Ьвымп; с указанного времени высоты Н по его предложению получили название н о р -* ь н ы X.