§ 67. Влияние уклонений отвесных линий на астрономические азимуты - уравнение Лапласа

Обратимся вновь к рис. 119, из которого следует:

A = r + i

а = Я. + в, (67.1)

Из треугольника zzP, в котором угол при равен 180° - Oj, имеем

- созв1 = -со8всо8(Х -L) + sinesin(X-L)sin5. (67.2)

Полагая, что со8 (Я - L) = 1, sin (Я - L) = (Я, - L) и sin В - sin ф, т. е. пренебрегая членами порядка (Я - L), (Я, - Vf и (?t - L) , получаем

- cosOj = - cosO + (X - L) sin в sin ф

cosB -со8в1 = (? -/.)sine 81Пф; (67.3)

учитывая формулу (65.2), получаем

cos 6 - cos Oj = Г] tg ф sin в,

- 2 sin (6 + Bi) sin 1- (0 61) = Г] tg ф sin О. Полагая, что

-1-(в,+в)=в и sin4-(0-0i)=4-(®-®i)

получаем

01 -в = т]tgф (67.4)

е,-в = (;,-/.)81пф. (67.5)

Сферический треугольник mzzj аналогичен треугольнику zzP. вершине Р -соответствует вершина т, углу {% - L) - угол сторонам (90° - В) ж (90° - ф) стороны 7j ж z, величине - 0 - величина7?1 - В. , Формулу (67.5) перепишем так:

0 0 = (А,-Z) cos (90 - ф),

аналогичное выражение для треугольника mzzj будет

R-R=q(imz, (67.6)

Из треугольника mzz- имеем

г . . sin л

Sin q sm и -:-,

поэтому

R-R-=. (67.7)

ig 2

... Складывая (67.7) и (67.4), получаем

(Л1-д)+(е,-0) = -1 .г)1§ф,

или, принимая во внимание (67.1),

а.-Л = >геф+ (-в). (67.8)

-Л = Ч tgф+ - . (67.9) Так как м cos G = и w sin в = т), то

a .-A , = ntS<f+ , (67.10) НО TI = (?i - L) cos ф, тогда

Дп==ат-(А--Ь)31Пф + -!----. (6/.И)

Пользуясь уравнением (67.11), можно перейти от астрономических азимутов к геодезическим.

В триангуляции 1 класса астрономические определения азимута выполняют на пунктах выходных сторон базисных сетей. Зенитные расстояния по выходным сторонам в большинстве случаев весьма близки к 90°; поэтому в правой части уравнения (67.11) значение tg z достаточно велико (не менее 150 - 200) по сравнению с числителем, равным нескольким секундам, т. е. значение этого второго члена обычно не превосходит 0,02-0,03 . Следовательно, вторым членом в уравнении (67.11) можно пренебречь. Тогда уравнение (67.11) примет вид:

Am = am-{X-L)smcp (67 12)

m = am-lltgф г

Последнее уравнение называется уравнением Лапласа. Геодезический азимут, вьшисленный по формуле (67.12), называется азимутом Лапласа.

Таким образом, разность астрономического и геодезического азимутов некоторого направления в данной точке равна разности астрономической и геодезической долгот, умноженной на синус широты этой точки.

Возвратимся к уравнению (67.11). В правую часть этого уравнения входят два поправочных члена:

{l-L)sinq> и cosm-sin.4.,

tg Z

Первый главный член постоянен в данной точке, так как он зависит только от координат и не зависит от направления. Этот член выражает собой влияние на азимут направления несовпадения плоскостей астрономического и геодезического меридианов. Второй член уравнения выражает влияние на измеренное направление несовпадения вертикальной оси инструмента с нормалью к поверхности эллипсоида. Поэтому его можно рассматривать как поправку за уклонение вертикальной оси инструмента от нормали к поверхности принятого референц-эллипсоида, которую следует вносить в измеряемые горизонтальные направления. Иначе говоря, второй член можно рассматривать как редукцию измеренных горизонтальных направлений за переход к референц-эллипсоиду-

Докажем, что Лапласовы азимуты, полученные в различных пунктах триангуляции, можно практически считать независимыми. Представим себе fзвено триангуляции 1 класса, на обоих концах которого определены Лапласовы азимуты. Из формул (67.12) следует, что ошибка Лапласова азимута Ша зависит от ошибок определения астрономического азимута тпа, астрономической долготы тпх и геодезической долготы т. Обычно в триангуляции 1 класса та = ±0,5 ; ml = ±0,03* или т - ±0,45 . Для определения ть исходим из ошибок передачи геодезических координат по ряду, так как долготы определяют последовательным вычислением координат вдоль ряда. Вспомним, что продольный и поперечный сдвиги в звене триангуляции 1 класса характеризуются в линейной мере величиной порядка 0,7 м. Соответствуюшая ошибка в долготе, выраженная в секундах дуги, будет равна для средних широт 0,04 ; таким образом, ть г десять раз меньше ошибок т, и т, поэтому можно написать

тА ± \- ml sin2 ф *

Значения астрономического азимута а и долготы Я на разных пунктах независимы. Следовательно, и геодезические азимуты, полученные по[формуле (67.12), на разных пунктах можно считать практически независимыми.

Средняя ошибка таких азимутов с учетом ошибки астрономической долготы на пунктах 1 класса будет равна приблизительно ±0,7 .

При развитии триангуляции азимуты Лапласа имеют весьма важное аначение, а именно:

1. Обеспечивают ориентировку всех звеньев и рядов триангуляции с ошибкой одного порядка.

2. Не допускают распространения и в значительной мере исключают систематические ошибки, столь опасные в большой триангуляции; ошибки в ориентировке триангуляции, появившиеся в одном звене, перестают оказывать влияние в другом, если на стыке обоих звеньев расположен пункт г Лапласа.

Кроме того, азимуты Лапласа позволяют путем соответствуюш;ей обработки материалов триангуляции и анализа результатов исследовать величины и характер систематических ошибок и причины их возникновения. Малая величина систематических ошибок на каждом пункте, в то же время существенное влияние их на точность триангуляции в целом делают задачу исследования этих шибок весьма сложной, но актуальной.

3. Доставляют триангуляции твердые азимуты, которые позволяют вводить при уравнивании азимутальные условные уравнения, способствующие получению более точных значений всех элементов, в том числе и координат пунктов.

4. Дают возможность осуществлять надежный контроль угловых измерений ? триангуляции, в частности обнаруживать такое накопление ошибок, которое другими путями не может быть выявлено. Действительно, свободный член азимутального условного уравнения включает в себя сумму ошибок углов ходовой линии по всему ряду. В определенных случаях отдельные крупные ошибки и во всех случаях малые ошибки, но действующие систематически и однообразно, не выявляются в свободных членах других условных уравнений - фигур, боковых и базисных. Таким образом, о многих существенных недостатках в постановке угловых измерений и о действии систематических ошибок можно судить только по свободному члену азимутального условного уравнения.

20 п. С. Закатов 305-