Пусть кривая ma изображает произвольное нормальное сечение в точке м поверхности эллипсоида, заданное азимутом а, т. е. сечение расположено под углом а к меридиональному сечению.

На основании формулы Эйлера, устанавливающей зависимость между радиусом кривизны р произвольного нормального сечения и радиусами кривизны главных нормальных сечений, имеем

cos2 А

sin2 А

откуда

MN

iV cos2 Л--М sin2 Л *

(6.1)

Рис. 13

Вообразим, что а принимает последовательно значения: О, 2 a, ъ a 2п-2 a, 2n-a,

причем А4 - малая величина. Число таких значений а будет равно Вычислим среднее арифметическое из радиусов [кривизны всех этих нормальных сечений, проведенных из точки м через интервалы величиной ДЛ, и обозначим его через r.

Будем иметь

Аш-гп-hA

А=2Я-ДА

7Vcos2 +Msin2 Л

MN A

TV cos2 Л + М sin2 Л

Таким образом, согласно определению среднего радиуса кривизны r, получим

/?=limi?i при АЛ

Очевидно, в этом случае знак 2 в выражении для r должен быть заменен знаком интеграла, а - через dA. Будем иметь

2л J

7Vcos2-)-Msin2

dA.

Разделим в подынтегральной функции числитель и знаменатель на iVcos Л, тогда

я/2 М

Д = 1

cos2 А

1+1-

- dA.

Вынесем за знак интеграла l/MJV

r=-Ymn

М dA W cosA

\V N

3 п. с. Закатов

Обозначив1/ tg а через получим

Интегрируя, получаем

arctg t.

Подставляя пределы, получаем

2 пгтгт п

и окончательно

R==YMN, (6.2)

= I e2sin2i? ( )

Таким образом, из (6.2) следует, что средний радиус кривизны для точек эллипсоида вращения равен среднему геометрическому из радиусов кривизны главных нормальных сечений - меридиана и первого вертикала, проведенных из той же точки.

Выражение для R может быть написано в функции величин W ж V так:

D а Vl-e b с ,г> ,ч

\у2 F2 v */

RMN=-. (6.5)

Средний радиус кривизны применяется при изображении частей поверхности эллипсоида на шаре, при вычислении сферических избытков треугольников и в других случаях.

В таблицах, составленных ЦНИИГАиК и Центральной вычислительной частью для эллипсоида Красовского, даются через интервалы по широте в 1 логарифмы величины (1), (2), jR, а также значение функции V.

Для вычисления радиуса кривизны нормального сечения, имеющего азимут а, можно воспользоваться, конечно, формулой (6.1). Для практических вычислений, путем несложных преобразований, ее удобнее представить в другом виде, т. е.

где т) = ecos В*

Для менее точных вычислений, с ошибкой на члены е*, формула (6.1) может быть преобразована

Ра = Л (l-cos2 5cos2). (6.7)

Формула (6.7) используется, например, при вычислении поправки за приведение измеренной длины базиса к поверхности референц-эллипсоида.

§ 7. Вычисление длины дуги меридиана

Пусть точка А (рис. 14) на меридианном эллипсе имеет широту В, Возьмем на бесконечно малом расстоянии ds от точки А точку А- имеющую широту В + dB\ таким образом, разность широт точек Л и Л1, соответствующая дуге меридиана ds будет dB. Рассматривая элементарную дугу ds как дугу окружности с радиусом М, получаем

dsMdB,

ds-SzzfLdв=dв,

(1-е2 siii2 5)/*

Длина дуги меридиана между точками, имеющими широты В и 52, получится

J (l-e2sin2B) J Ws

(7.1)

Рис. 14

Таким образом, вычисление длины дуги меридиана сводится к нахождению эллиптического интеграла вида

йВ с dB

Г Л =С

J (l-e2sin2jB)*/= J

который, как известно, в элементарных функциях не берется. Для вычисления указанного интеграла разложим подынтегральную функцию в ряд по биному Ньютона. Имеем

-1- = (1 2 sin2 в)*1* = 1 +1- sin2 5 + sin* В -Ь

-flpesinB-

ев sin* 5 -f- - sinio 5 -Ь...

(7.2)

Для простоты дальнейших выкладок ограничимся членами с е*. Четные степени синусов, входящих в разложение функции - в ряд, заменим косинусами кратных дуг согласно равенствам:

sin2 5 = 4-4-C0S 25,

sin* 5 = - - у cos 25 -I- -i. cos 45.

Теперь формула (7.2) примет вид 1

W = l+Y4-T 25)-b.*(-cos25+4cos45).b... - = 1+..--.2 cos 25 + 41 .*-i-.*cos25+ile* cos 45+...