другой, циркуляционный tp = - ~ Ig г; ины-

ми словами, мы заменяем наш цилиндр дублетом и прямолинейным вихрем, проходящим через ось цилиндра (фиг. 5). В полученном сложном потоке функция тока будет иметь вид:

РадиальнЪ,я и тангенциальная скорости выразятся уравнениями:

1 дх1)

COS в,

sin в

2 яг

На поверхности цилиндра будем иметь:

и-- О и v= 2Fsin в + 2 па

Критические точки А и В, т. е. точки нулевой скорости на поверхности цилиндра, найдем, полагая v = О, т. е. sin в = ----

в данном случае образуется нек-рое количество двилсения, и поэтому появляется и

пек-рая сила сопротивления. Эта сила получается за счет разности давлений с одной и другой стороны - цилиндра, при

Фиг. о. Обтекание цилиндра qp >>яч лрт1,

с циркуляциехк. эта разность

давлений, в свою очередь, пол,ается вследствие различных скоростей в этих местах. Зависимость мелсду давлением и скоростью дается по уравнению Бернулли (см. Гидродинамика):

?j -г = Const. На одно11 стороне цилиндра

имеется пониженное давление и повышенная скорость, а на другой-повышенное давление и пониженная скорость. Подставим в ур-ие Бернулли значение скорости на поверхности цилиндра:

2F sin6>-f ~Y= Const. 2 па I

Полное давление на цилиндр длиной d.: будет:

2i sin в.а de.

Подставляем сюда выралсение для давления на цилиндре:

= dz j I Const -

dP =

2rsin6 -b-

7 Si

sin 6.a do.

Проинтегрировав это выралсение, получим: dP = Q JVd~, т. е. сила реакции жидкости на цилиндр с циркуляцие!! J перпендикулярна направлению скорости в бесконечности, равна плотности лсидкости, помно-лсенной на циркуляцию, на скорость потока в бесконечности и на длину цилиндра dz. Направление этой реакции получается, если взять вектор, представляющий скорость в бесконечности, и повернуть его на

прямой угол в сторону, обратную циркуляции. Это - теорема Жуковского, на которой основывается вся теория крыльев. Здесь дан вывод ее только для цилиндра, Жуковским лее она обобщена и потому нрилонсима и определению подъемной силы любых тел, движущихся в потоке. Т. о. сила сопротивления тела, движущегося в идеальной жидкости, получается лишь при наличии циркуляции, при чем эта сила сопротивления является подъемной силой, т. е. силой, перпендикулярной к скорости движения. Сила лобового сопротивления до последнего времени совсем не учитывалась, и лишь с возникновением теории индуктивного сопротивления этот парадоксальный вывод А. идеальной жидкости был до известной степеijH восполнен. Зная обтекание цилиндра, то есть имея для него выражение функции тока и подъемной силы, можно найти и обтекание других тел, делая конформные преобразования потока, обтекающего цилиндр. Наиболее интересными преобразованиями являются преобразования, предложенные проф. С. А. Чаплыгиным ( О давлении плосконараллельного потока на прегралсдающие тела ). Некоторые из них подверглись детальному изучению за границей и носят название преобразований Жуковского. Преобразования Жуковского лишь по Методу отличны от преобразований Чаплыгина, хотя оба приходят к одному и тому же результату. Функция этих

преобразований имеет вид: 5 = -(.г+-1.

Помощью этой функции молено преобразовать круг в различные виды кривых, к-рые, являясь инверсиями кривых второго порядка, по своему очертанию очень хорошо подходят к профилям крыльев аэроплана. Трефцем (Trefftz) предложен очень простой геометрический метод построения этих профилей, основанный на геометрических свойствах конформных преобразований. Пусть мы имеем круг и внутри его другой соприкасающийся (фиг. 6); проведем из

точки соприкосновения под углом (р к прямой, с оединяющей эту точку с центрами кругов, прямую; из точки О на этой прямой проведем два луча под одинаковыми углами д к прямой; соединяя точки пере-

сечения этих лу-

Фиг. 6. Построение инверсии и-тл-ттаЛы

параболы по методу Трефца. кругами

прямыми линиями с противоположными точками пересечения и деля эти отрезки прямых пополам, получим искомую точку на кривой профиля. Изменяя угол & от О до п, получим весь профиль. При угле наклона прямой (р равном нулю получается симметричный профиль. Такого рода профиля суть инверсии параболы и за границей носят название профилей Жуковского.

Если немного раздвинуть два круга так, чтобы один оставался в другом, и произвести такие же построения, получим профиля, предложенные Чаплыгиным,-инверсии эллипса. У инверсий эллипса, в отличие от инверсий параболы, не будет заостренного заднего кончика. - Мы рассматривали крыло только в плоскопараллельном потоке, т. е. отрезок крыла, равный ширине потока; в трехразмерном потоке это будет соответствовать крылу бесконечно большого размаха; на практике же приходится иметь дело с конечным размахом. Разница в обтекании крыльев бесконечно большого и конечного размаха заключается гл. обр. в том, что в последнем на концах образуются сбегаюшие вихревые жгуты, на образование которых тратится некоторая энергия; кроме того, эти вихри изменяют поле около крыла. В теории ген-дуктивного сопротивления (см.) рассматриваются эти потери, а также и те поправки, которые необходимо сделать, прилагая к крылу конечного размаха выкладки теории крыла в плоскопараллельном потоке.

II. Аэродинамика экспериментальная.

А. экспериментальная базируется гл. обр. на основном законе сонро-тпвления, к-рый дает зависимость сопротивления тел, движущихся в жидкости, от плотности и вязкости среды, в которой дви-Лчется тело, размеров, скорости движения и формы его. Общее выражение этого закона можно дать в виде следующей ф-лы:

B = QlW(Q,l,v,v), (1)

где В-сопротивление тела, q - плотность жидкости, I - линейный размер тела, v~ скорость движения тела и F - функция указанных величин и вязкости лсидкости v. Посмотрим, как выражается вязкость v. Пусть ds - элемент площади в жидкости и п - нормаль к этой площади; в точке лсидкости, находящейся на расстоянии dn по нормали от элемента ds, скорость будет V -{- dn. Согласую гипотезе Навье-

Стокса, тангенциальная си.та на рассматриваемый элемент выразится:

pds=f-ds.

Коэфф. (Л называется коэфф-том вязкости. Чаще рассматривают другой коэффициент

V = , где ()-плотность лдкости. Коэфф. v

называется кинематическим коэфф-том вязкости. Его оазмелность найдется из ф-лы (2) и будет [кг°мск~]. В общей ф-ле сопротивления размерность Pv есть размерность силы, следовательно F {(),l,v,v) должна иметь размерность нуль, а это получается нри одной только комбинации величин

,l,vnv, именно,полагая F(f),l. r,v) = f{-

Таким образом имеем:

vl \

Следовательно, два течения можно считать подобными только в том случае, если ве-

Фиг. 7. Зависимость коэфф. сопротивления от скорости.

личина - остается одной и той же. Это есть

выражение закона аэродинамич. подобия;- называется числом Рейнольдса.

Ф-ла (3) обычно пишется в следующем виде: В = Со5г;2, (4)

где S - миделевое сечение тела (наибольшая площадь сечения тела, перпендикулярного направлению двилсения) или какое-нибудь другое измерение площади, характеризующее величину тела, и С - нек-рый коэфф., зависящий от формы тела. Если считать С независящим от скорости, то, как по-казьшает опыт с и как явствует из выралсе-ния (3), не на всем диапазоне скоростей будет справедливо выражение (4): на малых скоростях (до 1 м/ск) оправдывается закон первой степени скорости; при больших скоростях, близких к скорости звука, повидимому, имеет место закон кубов; при скоростях же выше звуковой опять наблюдается закон квадратов. Принимая всюду закон квадратов, следует ставить коэффициент С в зависимость от скорости. Па фиг. 7 представлена зависимость этого коэфф-та от отношения скорости движения тела к скорости звука. Однако на том диапазоне скоростей, при к-ром приходится иметь дело с аэроплан-пыми деталями (от 20 до 80 м/ск), закон квадратов скоростей довольно хорошо оправдывается. Вообще говоря, законы сопротивления тел при скоростях выше 100 м/ск пока еще недостаточно хорошо изучены. Сверхзвуковые скорости имеют место в артилл. снарядах, и поэтому изучение сопротивления при таких скоростях относится к области внешней баллистики (см. Баллистика). Коэфф. С в ф-ле сопротивления (4), как видно из выражения (3), является безразмерным, поэтому этот коэфф. называется абсолютным коэфф-том. Иногда ф-лу сопротивления пишут: В = KSv, т. е. К = Cq, так что К зависит от плотности среды. В Германии сопротивление относят не просто к скорости, а к скоростному напору, т. е. пишут; В= CqS, где 5= % qv. Т. о. зависимость между раз.тичиыми коэфф. выразится так:

- Q- 2-

Мы улсе видели, что в идеальной жидкости те.ла не испытывают лобового сопротивления. На самом деле полного обтекания потоком тел пе бывает, а за телом образуется б. илим. интенсивное завихрение, к-рое вместе с трением и создает наблюдаемое сопротивление. Это вихреобразование зависит от моста возникновения срыва струи от по-верхкостн тела и поэтому зависит от формы тела; этим и объясняется зависимость

коэффициента С от формы тела. Одним из наиболее неустойчивых по вихреобразова-нию тел яв.ляется шар. Исследования вих-реобразования производятся получением т. н. аэродинамич. спектров, т. е. фиксированием каким-либо образом линий токов в данном течении (см. нюке). На фиг. 8

Фиг. 8. Обтекание плоской пластинки на малой скорости.

дано обтекание плоской пластинки, поставленной перпендикулярно потоку, при малых скоростях; в этом случае вихреобра-зования не наб.людается, и поток почти симметричен; лобовое сопротивление в данном случае создает почти одно только трение. На фиг. 9 - обтекание той же пластинки при ббльших скоростях, когда начинают появляться вихри. Сопротивление плоской квадратной пластинки, поставленной нормально к потоку, в экспериментальной А. иногда служит эталоном для сравнивания сопротивления различных тел. Сопротивление данного тела приводят к сопротивлению т. п. эквивалентной пластинки по ф-ле: B,= Cq6v, где В--сопротивление данного тела, С-коэфф. сопротивления плоской пластинки, принимаемый равным 0,64, и а -

Фиг. 9. Обтекание плоской пластинки на большой скорости.

площадь пластинки. По этой формуле находится площадь эквивалентной пластинки

(i = Q б4о-2 которой и характеризуется

сопротивление данного тела. В таблице даны коэффициенты лобового сопротивления С для некоторых форм:

Плоская квадратная пластинка, поставленная нормально к направлению потока .....................0,64

Круглый плоский диск, поставленный

нормально к направлению потока . . . . 0,5 6

Шар.....................0,25

Эллипсоид с большой осью, направленной

перпендикулярно потоку..........0,30

То же, но с большой осью по потоку. . . 0,035 Веретенообразные тела с передним тупым, а задним заостренным концом (тело наилучшего обтекания), при отношении длины к диам. 4 (ось по току). . 0,013

Цилиндрические тела, имеющие в сечении форму тела наилучшего обтекания (стойки аэроплана) с осью 1 к потоку. . 0,045 Цилиндрические тела, имеющие в сечении

круг (круглые трубы, проволока).....0,60

Профилированная проволока - в зависимости от отношения размеров сечения. .0,15-0,2О Фюзеляжи -в зависимости от формы . . 0,3 5-0,50 в приложениях А. наибольший интерес представляют тела малого сопротивления, а такими будут тела, при движении к-рых вихреобразование получается наименьшим. Как показывает опыт, наименьшее вихреобразование получается для форм вытянутого вида, с утолщенным передним концом и заостренным задним. Подобные формы теперь обычнопридаются дирижаблям и по возможности всем деталям аэропланов, находящимся в потоке воздуха. В теоретической аэродинамике мы видели, что если вокруг тела получается циркуляция, т. е. получается некоторая разность скоростей с одной и с другой стороны тела, то возникает также сила, перпендикулярная направлению движения. В виду того, что в авиации эта последняя сила играет большую роль, рассмотрим формы тел, которые дают эту силу сравнительно большой.

Рассмотрим тело крылообразной формы, т.е. цилиндрическое тело, имеющее в сечении, перпендикулярном образующим, одну свою размерность меньшей, чем другую; положим, что сечение этого крыла имеет форму, представленную на фиг. 10. Это сечение называется профилем крыл а, или дужкой крыла. Край этого профиля, на который набегает поток, называется передним краем профиля, или дужки, а с к-рого сбегает поток-з а д-н и м краем. Угол между хордой нижнего очертания сечения и направлением потока называется углом атаки к р ы-л а. Хорда сечения крыла является линией условной. Обычно в профилях, имеющих одну сторону вогнутой или плоской, за эту условную линию принимается направление прямолинейной рейки, которая, будучи приложена к этой стороне, прикасается к очертанию профиля не менее как в двух точках. В профилях, имеющих выпуклые очертания с обеих сторон, такого положения рейки найти нельзя, и поэтому в этих случаях фиксируют какую-либо .линию, принимая ее за хорду, и от нее делают отсчет углов атаки. Для симметричных профилей за хорду принимают продольную линию симметрии. Если крыло имеет нецилиндрическую форму и его хорды непараллельны друг другу, то углы атаки в разных сечениях будут разные. Из нецилиндрических крыльев наиболее употребительными являются формы, составленные из двух конических поверхностей; однако употребляются также и другие, более сложные крылья (см. Аэроплан). Полная сила сопротивления будет результирующей сил - подъемной и лобовой. С изменением угла атаки полная сила сопротивления меняет как свою величину, так

Фиг. 10. Схема разложения силы действия на крыло.