возмущения телом набегающего на него потока жидкости. А. идеальной жидкости рассматривает только силы, получающиеся перпендикулярно направлению движения, т. н. подъемные силы, и лищь в самое последнее время в А. стала развиваться самостоятельная часть, т. н. теория индуктивного сопротивления, которая учитывает также вызываемое сбегающими с тела вихрями лобовое сопротивлеьше, то есть сопротивление, направленное по двилсению потока. Вследствие идеализирования жидкости теоретическая А. не может дать для практики полного ответа о возникающем сопротивлении жидкости движущемуся в ней телу; поэтому приходится пользоваться опытными данными и с помощью соответствующих коэфф-тов исправлять и дополнять те вьшоды о величине сопротивления, к-рые дает.теория. А. состоит из двух частей: теоретической опирающейся на общие законы классической механики, и прикладной, или экспериментальной, оперирующей с опытными данными, дополняющими общие выводы теоретической аэродинамики.

I. Аэродинамика теоретическая.

Общие уравнения движения жидкости в форме Эйлера будут следующие:

1 др ди ди ди ди

- 3 = А - и--v---го----гг

Q дх дх ду dz dt

1 dp dv dv dv dv

Y - u---17-Г--tv--

Q dy дх ду dz dt

1 dp dw div dw dw

= Z -U---- -з---гг

Q dz dx dy dz dt

dQ djiott) d(Qv) dJQiv) dt dx dy dz где x, Y, Z-силы, действующие на массу, и, V, iv-компоненты скорости по осям координат, а р и Q-давление и плотность. Последнее ур-ие выражает собой условие непрерывности упругой жидкости. Здесь надо находить 5 неизвестных: р, q, и, v, w как функции X, у, Z и t-поэтому этих ур-ий недостаточно. Для установления связи между о и р рассматривают процесс изменения состояния воздуха адиабатическим или политропическим. Зависимость между р vl q можно выразить след. Правом: р = . qy, где у - коэфф., выражающий отношение удельных теплот газообразной жидкости, в случае адиабатического процесса для воздуха равный 1,408; е-кОэфф., характеризующий степень сжимаемости. Продифференцировав ЭТО ур-ие, найдем, dp=yQidQ

или dp=Y ~ dQ. Т.к.скорость звука в данной

-, то имеем

среде выралсаетсяф-лой с=л/ у ,

С = -,- , Т. е. изменение плотности в за-dQ

висимости от давления пропорционально квадрату скорости звука в данной среде. Вследствие того, что скорость звука в воздухе только в четыре раза меньше, чем в воде, во многих вопросах или задачах А. можно принимать воздух несжимаемым и

лишь при больших скоростях движения, приближающихся к скорости звука, приходится принимать во внимание сжимаемость воздуха. Уравнение непрерывности в этом случае примет вид:

du dv , дги

dx dy dz ~

Установившимся движением жидкости называется такое движение, когда в любой точке в потоке скорость не зависит от времени. Уравнения движения в этом случае для несжимаемой жидкости примут вид:

1 dp du du du

- ~ = X - и ч--V . - w

Q dx dx dy dz

1 dp d? dv dv

- = 1 - и -T--V 3--IV -c- ,

Q dy dx dy dz

1 ,

dp dw dw div Q dz dx du dz

du dv dw Q dx dy dz ~ Обозначим через V полную скорость частиц, т. е. F= Vu tv. Подставляя это вы-

ражение в ур-ие движения и производя соответствующие преобразования, получим: 1 dp dm

= 2(i;u - w).

Q dx dx

Q y

1 dp dm .

л--V = 2 {v - щ) ,

(i dz dz

du dv dw

где введены обозначения: = -g

dv\ dz

du \dz

dtv\ dx,

dv dx

du dy]

Эти вы-

ражения называются компонентами вихри и представляют собою проекцию на оси координат угловой скорости вращения частиц жидкости. Положим, что жидкость не завихрена, тогда < = 7 = =:0; а отсюда

dw dv dii dw dv du

-3- ; = ; -7- = . Эти ур-ия по-

dy dz dz dx dx dy

казывают,что должна существовать нек-рая

d<p

функция (р, обладающая свойством: = и ; д(р d<p ,

- =v; = tv . Функция (р называется

функцией потенциала скоростей и аналогична потенциальной (силовой) функции в механике. Т. о. в установившемся невихревом потоке должна существовать функция потенциала скоростей. Семейство поверхностей <р (х, у, z) = (р называется эквипотенциальными поверхностями, при чем скорости частиц жидкости нормальны к эквипотенциальным поверхностям. Решить задачу о движении потока в трех измерениях представляет значительные трудности, поэтому приходится прибегать к упрощающим схемам, как двухразмерный поток или плоскопараллельный поток. Разработанная до сих пор теория крыльев - теория несущих поверхностей- оперирует гл. обр. с плоскопараллельным потоком, при чем задачи

этой теории могут с некоторыми поправками быть перенесены и для случая трех-размерного потока, обтекающего аэроплан-ное крыло. До нек-рой степени эти поправки вводит теория индуктивного сопротивления. Плоскопараллельным потоком называется поток, текущий между двумя параллельными плоскостями; скорости в нем имеют одну и ту же величину и направление во всех точках, лежащих на одной нормали к этим плоскостям. Семейство линий тока, т. е. линии, к-рые описывают частицы жидкости при своем движении, м. б. выражено в виде ур-ия хр(х, у) = ц>, где t называется функцией тока; скорость, нормальная к направлению s, будет выражаться ф-лой

а компоненты скорости по двум вза-

имно перпендикулярным направлениям выразятся так: и = -\- ; v = - ~. Т.о. быстрота изменений функции тока характеризует собою скорость потока. Для случая плоскопараллельного потока общие уравнения движения для несжимаемой жидкости примут вид:

1 др ди ди ди Q дх дх ду dt

1 др dv dv dv Q dy dx dy dt

du dv

dx dy~

Интегрирование даже этих уравнений плоскопараллельного потока представляет большие трудности, поэтому для решения многих вопросов А. прибегают к искусственным методам; одним из таких методов является применение теории источников.

Источником называется точка в пространственном потоке, из к-рой в единицу времени вытекает одинаковый объем жидкости (иногда рассматривается источник с переменным расходом, т. е. пульсирующий источник). Отрицательным источником, или стоком, называется точка в пространстве, через к-рую жидкость уходит из потока. Силой, или напряжением, источника называется объем жидкости, выходящей в единицу времени из источника. В случае плоско параллельного потока источники и стоки называются линейными, ибо жидкость в линейном источнике приходит или уходит из потока через линию, нормальную к потоку. В случае наличия линейного источника в первоначально покоящейся жидкости, из источника жидкость будет выходить по радиальным направлениям; если т-сила источника, то радиальная скорость на радиусе г выразится

ф-лой: и = Линии тока в этом случае

будут радиусами (фиг. 1), исходящими из

Фиг. 1. Схема линейного источника.

источника, а функция тока \р выразится

так: tf =

Если рассматривать источник в потоке, движущемся равномерно со скоростью F, параллельной оси X, то функция тока в этом

случае будет иметь вид: Ц) = - V-y + 0.

При одновременном действии источника и стока с равными силами (фиг. 2) функция

тока принимает вид: гр=(& - 6>,) = 5- ю,

где ©1, и <р - углы, указанные на чертеже. Полагая начало кординат проходя-

Фиг. 2. Схема источника и стока.

щим через точку, находящуюся на середине между источником и стоком, и обозначая расстояние мелоду ними через 2s, получим выражение для функции тока в таком виде:

27Г*чФ2- Если теперь приложить к нашим потокам равномерный поток, текущий параллельно оси X со скоростью V, то функция тока такого сложного потока будет иметь вид:

, т 2ys =- + 2пх---

Полученная функция тока может быть приложена для изучения обтекания потоком тел, имеющих в сечении продолговатую форму. Изменяя силы источников и принимая очертание замкнутой линии тока, проходящей через критические точки, т. е. точки с нулевой скоростью, за очертание сечения твердого тела, к-рое похоже на очертание сечений тел, применяемых в авиации, можно этим методом изучить те давления, к-рые получаются в этих формах. В случае пространственного потока методом источников изучают давление на дирижабли. Положим теперь, что источник и сток приближаются друг к другу, при чем произведение силы источника на расстояние между источником и стоком имеет постоянное значение /л -2ms. Такие совмещенные источники и стоки носят название дублетов; функция тока в случае дублета примет

£ 2я П)ибавим к

рассматриваемому потоку равномерный поток, текущий II оси X со скоростью V:

функция тока будет иметь вид: гр = -V.y + Линия тока гр = О будет со-

2 тс ж* + у стоять из оси X и из круга -\-

Т. о., принимая очертания линии тока I/J = О за сечение твердого тела, мы получаем обтекание этого тела потоком, движущимся со скоростью V. Источники и стоки, а также и дублет обладают свойством независимости действия, т. е. к действию источников молено прикладывать любые потоки, при чем сложение скоростей делается геометрически, а потенциалов--алгебраически.

Для решения многих задач А. бывает удобно применять теорию функций комплексного переменного, которая дает возможность сравнительно просто строить потоки несжимаемой жидкости. Это применение основано на том свойстве функции тока и функции потенциала скоростей,

д(р dip дч> дгр

что -г = х, = v; этим же свой-ох ду ду дх

ством обладает функция комплексного переменного вида: f(z) = <р + rpi. Функции <р к гр обладают еще тем свойством, что кривые, семейство к-рых они собою выражают, взаимно ортогональны. Рассмотрим функцию f{z) комплексного переменного 0 = х-\- iy, однозначную и конечную на всей плоскости. Пусть I и т] - действительная и мнимая части этой функции: f{z)==+i]. Кривые постоянных значений i и ij м. б. представлены на плоскости z как семейство взаимно ортогональных линий, соответствующих потенциальной функции и функции тока, С другой стороны, § и можно рассматривать как абсциссу и ординату новой системы координат, в которой t, есть комплексное переменное. Каждая кривая на плоскости е м. б, перенесена на новую плоскость Т, о, семейство кривых линий плоскости Z трансформируется в семейство взаимно ортогональных прямых плоскости . Так, напр., бесконечно малый треугольник на плоскости г- преобразуется помощью указанного способа в бесконечно малый треугольник на плоскости , с сохранением величины углов. Преобразование описанного вида называется конформным преобразованием, и в А., гл. обр. в теории крыльев, это преобразование получило боьшое применение, т. к., поставив условие, что функции потенциала скоростей и расходы потока при этом преобразовании не меняют своей величины, получаем возможность, зная потоки в одной плоскости, находить соответственные им потоки в другой; при этом линии тока и эквипотенциальные линии в одной плоскости конформно преобразуются в таковые же линии в другой плоскости, расходы же и разности потенциалов скоростей на соответствующих друг другу конформно отрезках кривых остаются неизменными. Кроме того, можно доказать, что при конформных преобразованиях потоков циркуляция (см. Вихревая теория) не меняет своей величины. Так. обр., если найден поток обтекания тела какой-либо формы, то помощью кон-

г. Э. т. I.

формного преобразования можно найти другой соответствующий этому преобразованию поток и, следовательно, поток, соответствующий обтеканию другого тела. Вся трудность в такого рода построении потоков заключается в подборе подходящей функции преобразования.-В теории крыльев обычно исходят от потока, обтекающего цилиндр, ибо выражение этого потока можно - легко найти, пользуясь потоком, СО-Фиг. 3. Обтекание цилиндра, здаваемым дублетом. Мы выше уже получили выражение для функции тока дублета; принимая очертание линии тока гр = О за сечение цилиндра, помещенного в потоке, получим:

гр = -V.y

= -F

7.2\

где о-радиус цилиндра (фиг, 3). Радиальная и тангенциальная скорости в любой точке потока будут:

г дв

cos в,

. = -/=F(l + ]sin6), дг \ I

Как видим, на поверхности цилиндра радиальная скорость равна нулю; кроме того, величины скоростей симметричны относительно осей координат, Т. о в силу того, что количества движения при таком обтекании не создается, тело не испытывает никакого сопротивления движущемуся потоку. Этот вывод в обобщенном виде носит название парадокса Эйлера. В точках А и В цилиндра имеются две критические точки, в которых и тангенциальная скорость равна нулю. Для целей практики более интересным случаем обтекания цилиндра является несколько иной случай. Рассмотрим так наз. циркуляционный поток (фиг, 4), то есть поток, в котором частицы жидкости двигаются по концентрическим окружностям . Такой поток м, б. вызван прямолинейным вихрем (см. Вихревая тео- Схема рия) с циркуляцией J. Пусть начало координат находится в центре вихря; радиальная составляющая скорости будет равна нулю, а скорость по окружности г; выразится так: v= - = Отсюда получаем

циркуляционного потока.

дг 2 яг

выражение для функции тока гр= - Ig г.

ы ТС

Сложим теперь согласно принципу независимости два потока, обтекающих цилиндр:

аМ

один с функцией тока t = -У.у