измерения, и поскольку для впчисления дисперсии используются квадраты разностей, она чувствительна к экстремально высоким и экстремально низким значениям.

Стандартное отклонение (standard deviation) равно корню квадратному из дисперсии. Оно характеризует распределение данных относительно среднего в тех же единицах измерения, что и исходные измерения. Чем меньше дисперсия и стандартное отклонение, тем плотнее измеренные значения сгруппированы около среднего.

На нижней диаграмме показаны два распределения с различн!-ми стандартными отклонениями. Частотное распределение, показанное черной линией, более пологое (значения даннгх более разнообразны и их размах шире), чем распределение, показанное красным цветом. Дисперсия и стандартное отклонение для пространственного распределения, показанного черным цветом, больше, чем для частотного распределения, показанного красным цветом.

Меры формы

Значенния

Плотность распределения можно охарактеризовать также формой.

Коэффициент асимметрии - это мера симметрии распределения. Для симметричных распределений этот коэффициент равен нулю. Если у графика распределения есть длинный правый хвост больших значений, распределение имеет положительную симметрию, а если график имеет длинный левый хвост малень-

ких значений, распределение имеет отрицательную симметрию. Для распределений с положительной симметрией, среднее больше медианы, и наоборот, для распределений с отрицательной симметрией, среднее меньше медианы. На нижнем рисунке показано распределение с положительной симметрией.

Значения

Медиана Среднее

Эксцесс кривой плотности распределения зависит от размера хвостов графика и дает меру того, насколько вероятно, что в распределении будут встречаться резко выделяющиеся, выпадающие значения. Эксцесс нормального распределения равен 3. Распределения с относительно толстхми хвостами являются островершинными и имеют эксцесс больше 3. Распределения с относительно тонкими хвостами являются плосковершинными , и их эксцесс меньше 3. На рисунке, приведенном внизу, нормальное распределение показано кривой красного цвета, а кривая с эксцессом больше нормального (островершинная) дана черным цветом.

0.2

Зна<нения

Карта Вороного

Карты Вороного строятся из серий полигонов, образуемых вокруг опорных точек.

Инструменты (масштабирование,

перемещение по Карта Значения

карте, и т.п.) Вороного ячеек

Выбор метода

Выбранный набор данных

Выбранный атрибут

Цветовая шкала

Полигоны Вороного создаются таким образом, чтобы каждая точка внутри полигона находилась ближе к рассматриваемой опорной точке, чем к любой другой опорной точке. После того, как полигоны созданы, соседи опорной точки определяются как любая другая опорная точка, чей полигон имеет общую границу с выбранной опорной точкой.

Например, на следующем рисунке яркая желтая опорная точка окружена полигоном, обозначенным красным цветом. Каждая точка, попадающая в красный полигон, ближе к желтой опорной точке, чем к любой другой опорной точке (опорные точки показаны небольшими темно-синими точками). Все полигоны, обозначенные голубым цветом, имеют общую границу с красным полигоном, таким образом, опорные точки, расположенные в голубых полигонах, являются соседями желтой опорной точки.

Используя определение соседей, можно вычислить целый ряд локальных статистических показателей. Например, локальное среднее может быть найдено, как среднее из значений опорных точек, попадающих в красный и голубые полигоны. Затем это среднее значение присваивается красному полигону. После того, как эта операция будет выполнена для всех полигонов и их соседей, с помощью цветовой шкалы будут показаны значения локальных средних, чтобы поможет визуализировать регионы высоких и низких значений.

Инструмент составления карты по методу Вороного предлагает целый ряд методов для присвоения полигонам вычисленных значений.

С использованием простого значения: Значение, присваиваемое ячейке, - это значение опорной точки, попадающей в этот полигон.

С использованием среднего: Значение, присваиваемое ячейке, - среднее, полученное из значений опорной точки ячейки и ее соседей.

С использованием моды: Все значения ячеек группируются в пять классов. Значение, присваиваемое ячейке, - мода (наиболее часто встречающееся значение) ячейки и ее соседей.

По методу кластера: Все ячейки группируются в пять классов. Если интервал класса ячейки отличается от каждого из интервалов класса соседей, ячейка окрашивается в серый цвет, чтобы отличить ее от соседей.

По методу энтропии: Все ячейки распределяются по пяти классам на основе естественной группировки значений даннхх (т.н., регулируемые квантили; обратитесь к Главе 8, Отображение геостатистических слоев и управление ими). Значение, присваиваемое ячейке - это энтропия, втчисляемая на основе значений опорных точек в ячейке и ее соседях,

Энтропия = - S (р. * Log р. )

где р. - частота встречаемости ячеек, отнесеннхх к каждому классу.

Например, рассмотрим ячейку с четхрьмя соседями (общее количество ячеек равно 5). Их значения помещены в соответствующие классы:

Значение энтропии, присвоенное ячейке, будет равно:

E = -[0.6*log2 (0.6) + 0.2* log (0.2) + 0.2* log2 (0.2)] = 1.371

Значение энтропии будет минимальным, если значения всех ячеек попадают в один и тот же класс. Тогда,

Emin = -[1 * log2 (1)] = 0

Значение энтропии будет максимальным, когда все ячейки попадают в разные классы. Тогда,

Emax = -[0.2 * log2 (0.2) + 0.2 * log2 (0.2) + 0.2 * log2 (0.2) + 0.2

* log2 (0.2) + 0.2 * log2 (0.2)] = 2.322

По методу медианы: Значение, присваиваемое ячейке, - медиана, вычисленная для плотности распределения ячейки и ее соседей.

По методу стандартного отклонения: Значение, присваиваемое ячейке, - стандартное отклонение, вычисленное для значений ячейки и ее соседей.

Диапазон между квартилями: Первый и третий квартили рассчитываются для плотности распределения ячейки и ее соседей. Значение, присваиваемое ячейке, вычисляется путем вычитания значения первого квартиля из значения третьего квартиля.

Другие статистические показатели для карты Вороного используются для других целей. Статистические показатели могут быть сгруппированы в следующие функциональные категории:

Локальное сглаживание

Среднее

Мода

Медиана Локальные отклонения

Стандартное отклонение

Диапазон между квартилями

Энтропия Локальные выпадающие значения

Кластер Локальное влияние

Простое значение