Отношение называется плотностью простого слоя и обозначается jx.

Таким образом

lim8h = \i. (56.5)

Тогда потенциал простого слоя выразится

F = /Jd(T. (56.6)

3. Потенциал притяжения однородного простого сферического слоя на материальную точку (внешнюю и внутреннюю).

Пусть имеем сферу радиуса Л, поверхность которой соответствует условиям, определяющим простой слой (рис. 109).

Возьмем две точки А в. А: одну находящуюся вне сферы (точка А) и другую- внутри сферы (точка Ai).

Для определения положения точек на сфере воспользуемся системой сферических координат. За полярную ось примем диаметр сферы, совпадающий с направлением из центра сферы О на точку А (или А j). Точки N ш S назовем северным и южным полюсами соответственно.

Положение некоторой точки М определится сферическими координатами и А..

Согласно (56.6), потенциал однородного простого сферического слоя равен

=-fdo; (56.7)

в данном случае следует принять: для внешней точки А

г = МА=г,

для внутренней точки А а также

dG=rsillddX. (56.8)

Расстояние от центра сферы до точки А обозначим через р, а для точки Ai - через pi.

Из рис. 109 следует, что

r = /i?2p2 2i?pcosi), (56.9),

с учетом (56.8) и (56.9) выражение (56.7) примет вид

231 я

J J l ?2 p2 2pCOSlj)

Заметим, что пределы интегрирования, распространяющиеся на всю поверхность сферы, устанавливаются от О до я для полярного расстояния ф и от О до 2п по долготе X. Интегрируя по Я, получаем

V 2я/. \-Мт=, (56.11)

Из (56.9) дифференцированием по находим

У/?2 + р2 2ЛрС08 1)

Помножив обе части последнего выражения на i?/p, получим

Р У i?2 + p2 2i?pCOS\l5

Учитывая 56.13), выражение (56.И) переписываем так:

max max

V = 2fii I JLdr.2nfix dr = 2-{r -rr. ). (56.14)

min min

Установленные пределы интегрирования гах и rjj соответствуют г1) = л я 1]; = О, что легко усматривается из рис. 109: для внешней точки А

rmin = 9-R и (56.15)

max min - 2/? ,

ДЛЯ внутренней точки А

тах-min = 2p. (56.16)

На основании (56.14) и (56.15) получим окончательное выражение для потенциала однородного простого сферического слоя на внешнюю точку

7 = 4я/х- (56.17)

м на внутреннюю точку

7 = 4л/хй. (56.18)

Введем в полученные формулы массу сферического слоя

M = 4ni?V- (56.19) Получим для внешней точки

7 = -. (56.20)

Сравнивая (56.20) с выражением потенциала точечной массы (53.6), делаем вывод, что однородный сферический слой создает во внешнем пространстве такой же потенциал, который был бы создан массой М, сосредоточенной в центре сферы.

Из соображений симметрии следует, что притяжение слоя будет направлено от притягиваемой точки А по направлению к центру сферы О, т. е. по р. Дифференцируя (56.20) по р, получаем

= 4=-- (56.21)

т. е. однородный сферический слой притягивает во внешнем пространстве по закону Ньютона, как точечная масса, расположенная в центре сферы.

Знак в правой части (56.21) показывает, что F и р направлены в противоположные стороны.

Вводя массу М сферического слоя в выражение для потенциала на внутреннюю точку, на основании (56.18) и (56.19) получим

F==/. (56.22)

Последнее выражение при данной массе сферического слоя и радиусе R постоянно и не зависит от положения внутренней точки, которое определяется расстоянием р. Дифференцируя это выражение по р, находим силу притяжения слоем внутренней точки

F = - = 0. (56.23)

Таким образом, сферический слой внутренней точки не притягивает.

4. Потенциал притяжения точки материальным шаром. Здесь также рассмотрим два случая: материальная точка находится вне шара и материальная точка расположена внутри шара.

Предварительно исследуем притяжение однородного слоя конечной толщины, который будем рассматривать как сумму бесконечного числа бесконечно тонких концентрических слоев.

При рассмотрении потенциала простого слоя мы имели дело с поверхностной плотностью \1, которая определялась из выражения

. = 4, (56.24)

где dm - элемент массы, приходящейся на элемент поверхности do. Объемная плотность б определится

6 = , (56.25)

где dl - элемент объема.

Если dR - толщина взятого сферического слоя, то

dr==dodR. (56.26)

Поэтому, принимая во внимание (56.5) и (56.26),

dm = \ido = ddGdR (56.27)

li--=6dR. (56.28)

Рассмотрим первый случай: потенциал притяжения простого слоя на внешнюю точку, согласно (56.17), имеет вид

Допустим, что притягивающие массы объемной плотности б заключены между внутренней сферой радиуса i?i и внешней сферой, радиус которой R.