Отсюда же получается выражение для поперечной силы Qy. в том же сечении:

°+y-(Jf,.-i¥,. i) =

Опорные давления определяются как разность поперечных сил в сечениях, смежных с опорной точкой справа и слева от нее.

Фиг. 50.

Рассмотрим два частных случая: балки 2-пролетную и 3-пролетную, с равными пролетами и нагруженные сплошной равномерно распределенной нагрузкой q.

Балка 2-пролетная. Опорные моменты Mi=0, Ms=0. Из уравнения трех

моментов следует, что AMl - pl, откуда J/2= - pl*, т. е. момент на опоре 2-про-

летной балки по величине равен наибольшему моменту в двухопорной балке

откуда Mi=M3=- jpl, т. е. меньше, чем

~- - момент посередине двухопорной балки.

На фиг. 51 построена эпюра моментов этой балки. Наибольший положительный момент имеет место в крайних балках в сечении, для которого Qx=-рх-~л=0, т. е.

при x==jl; момент в этом сечении

м £ -7- M-ie Pl

2 10 10 10 10 ~25 8~ Опорное давление на средних опорах

-Y + io7~io-Если пролеты, лежапдие слева от рассматриваемого, и сам он не нагружены, то правые стороны в ур-ии моментов равны нулю, и соотношения между последовательными моментами становятся постоянными, зависящими только от величины этих пролетов (фиг. 52). Это позволяет определить фокусные расстояния. Из уравнения трех моментов для первых двух пролетов

2Jii(Zi-bg+iJf22=-0 полу, м: =-2(l+)

вает, что знаки опорных моментов разные и что расстояния нулевой точки или фокусной точки от опор определяются соотношением

= -что показы-

откуда ,-h-

Фиг. 51.

того же пролета. На фиг. 50 построена эпюра моментов для этой балки. Момент в

любом сечении ее Ма,= ~-х (l-x)--- ~ ;

л Со

наибольшее значение его соответствует се- йЖ

чению, для которого а.=---=0,а именно:

р1 р1 3 ,

о-jpaj-%-=0, т. е. при х=- I, и равен

/СО о

i р1 9 рР i 8 ~ 16 8

Из уравнения трех моментов для второго и третьего пролетов Mil2+2Mi(l2+h) + lzh = 0; после подстановки в него отношения : lfi=-получим:

Жз 31 г

з=2-Ь

чем определяется положение фокусной точки в третьем пролете. Таким же путем опреде-

Опорное давление на среднюю опору р1 , рР р1 рР 5

Фиг. 52.

2 8Z 2 8?

В балке 3-про летной опорные моменты Ml и Mt равны нулю, опорный момент MzMsf а> потому из уравнения трех

моментов следует, что 4M2I -\- Mjl =- yiJ*;

ляются пололения фокусных точек в остальных пролетах. Вообще для фокусных точек всех пролетов

Если в том же порядке пойти с правого конца балки, то легко можно вывести соотношения для определения по.чожения

правых фокусов, а именно: кп = 2 +

Зная положение фокусных точек, легко построить эпюру моментов для всей балки, если будут известны опорные моменты загруженного пролета. При загружении одного к-то пролета уравнения трех моментов для него и смежных с ним напишутся так:

31,. h ,+23f,.Sk-i+h)+M,. Z,= -6,

Их можно представить в таком виде:

31,+М,.,Ц

3h ,h+3Uu Зк-г

НО т, к.

Ми и

то эти уравнения приводятся к виду: M,h+M,.,.h.k,=-;

3ik-ih + 3im=--к

Решая их относительно 14 i и Ж, получим:

1Ш-кфи) Ц(1-кМ)

которыми определяются опорные моменты в любом загруженном проле- -Sci те. Так, обр, расчет моментов Б, н. при загружении одного пролета сводится к определению фокусных точек. Следует отметить быстрое убывание опорных моментов, идущих от загруженного пролета. Напр., при всех равных пролетах отношения фокусн. расстояний будут к=4, /гз==3,75, kt=3,73 и т. д. Если предположить, что загружен четвертый пролет и по его загружению известна величина 3fa, то

дЖз=-14.

Такое быстрое убывание моментов дает возможность при расчете многопролетных балок не принимать во внимание удаленных балок. Пользуясь выведенными формулами, можно вычислить опорные моменты в каж;дом загруженном пролете, построить по ним отдельные эпюры, затем геометрически просуммировать их и таким образом получить эпюру от полной нагрузки. Пользуясь уравнениями, определяющими влияние одного загруженного пролета, можно построить линии влияния, для чего потребуется последовательно загружать грузом Р=1, располагая его в разных пунктах отдельных пролетов. Определив опорные моменты и опорные давления, можно при помопщ выражений для и Q. составить ур-ия линий влияния для каждого сечения. Построение линии влияния облегчается.

если воспользоваться готовыми таблицами Laederer, Griot, А. Cart et L. Portes и др., в которых даются непосредственно ординаты линий влияния при нек-рых соотношениях между пролетами. Таблицы Мерша (Morsch, Eisenbetonbau) дают значения Мя Qbслучае, когда нагрузка передается через узлы.

Влияние осадки опор. От неравномерной осадки опор искансается ось балки и появляются дополнительные изгибаюпще моменты. При отсутствии нагрузки осадка вызывает эпюру моментов, состоящую из трапеций в каждом пролете. Углы поворота от осадки (по фиг. 53), умноженные на жесткость,

Ж,=(2Ж,-ЬЛ/, ,) и

Л7 1=-Ч2.¥,+Ж,4-1)-Как видно из фиг. 53,

Рг+ г+1--7---1--7---Из написанных равенств выводится уравнение трех моментов

. Z+2J4(Z,.+Zh-i)+1/i . Wi=

- еРу -V --.

Это уравнение с разными индексами г можно написать столько раз, сколько неизвестных опорных моментов.

Фиг. 53.

II. Свободно лежащая балка с меняющимся от пролета и пролету моментом инерции.

Если момент инерции балки меняется при переходе от одного пролета к другому, оставаясь постоянным внутри каждого пролета (фиг. 47), то уравнение трех моментов приводится к виду:

I гг

- 2- (Ui-- )(2/,4-i- ).

При равномерно распределенной нагрузке вместо каждой сытимы войдет

III. Б. н., упруго защемленная в стойках,

с постоянным моментом инерции.

Формулы для вычисления фокусных расстояний выводятся из условия равенства углов поворота упругой линии. В балке (фиг. 54) рассматриваем два ненагруженных пролета; нагрузка находится справа от них;

углы - т=]3,. 1 и также т=а; кроме того, rMgfs- Это приводит к двум уравнениям:

6Ж V

Фпг. 54.

Вставив в первое уравнение выражение Ж, из второго и решив относительно v, получим:

<.=

+ 1Г:

Irjlr-i-ir-i)

r-t Фиг. 55.

Аналогично определяется правое фокусное расстояние Av i (см. фиг. 55). При свободно опертых концах балки первое левое фокусное расстояние 2 i=0; при защемленных

полностью концах %=-; при концах упруго

опор. Обозначив через [Ж] и [Ж ] статические моменты площадей Жо относительно правой и левой опор, а остальные обозначения взяв по фиг. 56 и считая все моменты положительными, получим следующую систему уравнений: 1- а-а, что дает

{.гмаЛ- Mb)

110 дает

3.-j=Tj, что дает

- (2Мь+Ма) = {Мь-Mi,)Ч = (Мл- М/.) --j-

4. Jic=-a(;, ЧТО дает

5. ас=Т(;, ЧТО дает

--j {2Мё + Md) = Шс~Мс)ве = (M,-Afc)

6. Pd=- d, ЧТО дает

(2Mci + M)=-A (2M;. + M.)-lg. 7.-fid:=-rf, что дает

-- {2Ма + Мс) = (3frf-Md)5rf = J.

Таким путем можхю написать столько ур-ий, сколько имеется неизвестных. Для стоек с шарниром внизу надо положить

ЕТ Загружая только крайний правый

пролет, можно определить все левые фокусные расстояния i и переходные числа ц и аналогично при загрузке крайнего левого пролета-все фокусные расстояния к. Опорные моменты от нек-рого малого смещения ?i молшо найти, решив столько ле уравнений, выражающих зависимость между вызванными смещением углами поворота упругой линии в узлах. Угол поворота в голове стойки, смещенной на величину /л при заще-м.пении ее внизу,

Фиг. 56.

защемленных (жестко связанных с крайними стойками) ij =------ и /.-

вЕ1е

6AY6.

к In

Последние выражения, дающие тот же результат, что отношения е : е на фиг. 34, получатся из общих формул, если представить за крайними стойками еще бесконечно-большие пролеты Iq и In+i, к-рые вследствие бесконечной длины настолько гибки, что не препятствуют деформации системы. Статически неопределимые опорные моменты балки при любой одновременной нагрузке всех пролетов м. б. найдены решением системы ур-ий, выражающих равенство углов поворота , а и г упругой линии балки и

т-Ж,.в, +

4E.j;

а при устройстве шарнира:

Взяв обозначения по фиг. 57, получим систему уравнений: i. <п~-/г, что лает

g-gj (2Ма+ Mb) = МааЧ+ J-------------2. -что дает

J--(23f й + Ма) = - Д Д2МН- Мс)

4Е/;+2Л -

Фиг. 57.

��4B